Existencia (o falta de ella) de minimizadores de la funcional de área en $A_M=\{u\in C(\bar{A})\cap C^1(A):u=0 \; si\; x=2 \; u=M \;si \; x=1\}$

Question

Estaba tratando de encontrar el minimizador de la funcional de área $$F(u)=\int_A \sqrt{1+|\nabla u(x)|^2}dx $$ donde $A=\{A=\{x\in\mathbb{R}^2: 1<|x|<2\}\}$ con la solución perteneciente al conjunto $\mathcal{A}_{M}=\{u\in C(\bar{A})\cap C^1(A):u=0 \text{ en } |x| \text{ y } u=M \text{ en } |x|=1\}$.

De hecho quiero probar que para $M>M_0$ el problema no tiene solución.

Todo se reduce a demostrar que para el minimizador u necesitamos tener $u(x)=\varphi|x|=\varphi(r)$, es decir, el minimizador es radial, y la ecuación EL asociada con el problema es $$\frac{d}{dr}\left(\frac{r\varphi'}{\sqrt{1+\varphi'^2}}\right)=0 $$ pero ahora estoy atascado ya que no sé cómo resolver esto.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Podemos explicitar la función $\varphi(r)$ $$ \begin{split} \frac{d}{dr}\left(\frac{r\varphi'}{\sqrt{1+\varphi'^2}}\right)&=0\\ \implies \frac{r\varphi'}{\sqrt{1+\varphi'^2}} &=c\\ \implies r^2\varphi'^2 & =c^2+c^2\varphi'^2\\ \implies \varphi'&=\frac{c}{\sqrt{r^2-c^2}}\\ \implies \varphi &=c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{r^2-c^2}+r}{c}\right|\right)+d. \end{split}$$ Ahora podemos imponer la condición límite $$ \begin{split} 0= \varphi(2)&=c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{4-c^2}+2}{c}\right|\right)+d\\ \implies d&=-c ln\left(\left|\frac{\sqrt{4-c^2}+2}{c}\right|\right)\\ M =\varphi(1) &=c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{c}\right|\right)-c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{c}\right|\right)\\ \implies M &=c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{\sqrt{4-c^2}+2}\right|\right) \end{split} $$ Ahora notamos que para que la función sea real necesitamos que $|c|\le 1$ y así podemos concluir que para que la solución exista la siguiente desigualdad debe ser satisfecha $$ \inf_{c\in[-1,1]}c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{\sqrt{4-c^2}+2}\right|\right)\le M\le \sup_{c\in[-1,1]}c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{\sqrt{4-c^2}+2}\right|\right)$$ pero en realidad dado que $c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{\sqrt{4-c^2}+2}\right|\right)$ en relación con la variable $c$ está en $C([-1,1])$ tenemos que el mínimo y el máximo se alcanzan (y por lo tanto son finitos) y por lo tanto podemos escribir $$ \min_{[-1,1]}c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{\sqrt{4-c^2}+2}\right|\right)\le M\le \max_{[-1,1]}c \ln\left(\left|\frac{\sqrt{1-c^2}+1}{\sqrt{4-c^2}+2}\right|\right).$$

Por lo tanto, si $M$ está fuera de este intervalo, entonces el problema mínimo para la funcional del área no tiene solución.