¿Por qué no es necesario calcular completamente esta integral para la divergencia de este campo vectorial?

Question

Tengo un campo vectorial $\vec v=(x^2+y^2+z^2)(x \hat x+y \hat y +z \hat z)$, y necesito calcular la integral de $\Delta \cdot \vec v$ sobre la región $x^2+y^2+z^2 \le 25$. Veo que $\vec v=r^2\vec r$ que es $\vec v=r^3 \hat r$. La forma en que intenté calcular la integral fue la siguiente:

$$\int r^3\hat r \cdot d\vec a \ ; \ d\vec a = r^2sin(\phi )drd\theta d\phi $$

$$\int_0^5 r^3 \hat r\cdot r^2sin(\phi)d\theta d\phi= \int_0^{{\pi\over 2}}d\theta\int_0^{{\pi\over 2}}sin(\phi)d\phi\int_0^5r^5dr$$

$$=\Big({\pi\over 2} \Big)\Big(1\Big)\Big({1\over 6}5^6\Big)\approx 1302\pi$$

Esto no es correcto porque la solución debería ser $12,500\pi$. Sin embargo, la solución presentada no tiene mucho sentido para mí porque parece que faltan muchos pasos y no hay una explicación de lo que se hizo:

$$\int \vec A \cdot d\vec a= \int \big(r^3 \hat r \big) \cdot d\vec a$$ $$=r^3 4 \pi r^2=4r^5 \pi = 4 \big(5^5 \big) \pi= 12,500 \pi$$ $$donde \ \ r=\sqrt{25}=5$$

No entiendo esta solución. ¿Por qué no hubo integración?

Answer 1

Tienes que calcular la integral de la divergencia de $\mathbf{v}$ sobre un volumen cerrado delimitado por una esfera de radio 5. El Teorema de la Divergencia establece que dicha integral volumétrica es igual al flujo exterior del campo vectorial: $$ \int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} \right)\,dV= \oint_S (\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\,dS. $$

Dado que la norma del campo vectorial depende solo del radio y es siempre normal a la esfera, $\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}$ es constante sobre la esfera y es igual a $r^3=125$. Luego $$ \oint_S (\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\,dS=125\oint dS=125\cdot 4\pi r^2=12,500\pi. $$ Hubo integración, pero las simetrías del problema facilitaron mucho el cálculo.

En la práctica, intentaste calcular la integral de volumen del campo vectorial, no de su divergencia, y igualaste un elemento de área vectorial $d\mathbf{a}$ con un elemento de volumen $ r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$, obteniendo un resultado incorrecto.