¿Convergencia o divergencia? Demuestre que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{{n}/{\log(n)}}}$ converge

Question

La serie

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{{n}/{\log(n)}}}$$

converge según Wolframalpha.

Ahora no estoy seguro de cuál es la mejor técnica para manejar esto. Estoy pensando en una prueba de comparación.

Esto es lo que pensé $n \geq 1 \iff \log(n) \geq 1 \iff \dfrac{n}{\log(n)} \geq 1 \iff n^{\dfrac{n}{\log(n)}} \geq 1 \iff 0 \leq \frac{1}{n^{\frac{n}{\log(n)}}} \leq 1 \iff \sum_{n=1}^{\infty} 0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{n}{\log(n)}}} \leq \sum_{n=1}^{\infty} 1 $

Así que por la Prueba de Comparación, converge. O supongo que "sqqqqquuuuzed" la suma =)

Ahora mi preocupación es que mi suma está acotada, pero supongo que eso no implica que la suma exista porque algo como $\sin(n)$ diverge aunque esté acotado. ¿Alguna idea?

EDITAR: $\log(n)$ no es el logaritmo natural

Answer 1

Cuando $n>1$ , $n^{\frac{n}{\log n}}=e^{\frac{n}{\log n}\log n}=e^n$ .

Entonces es una serie geométrica : $$\sum_{n=2}^\infty\left(\frac{1}{e}\right)^n$$ con $\frac{1}{e}<1$ .

Así lo transmite la serie.

Answer 2

Una pista: $n^{\frac{n}{\log(n)}}=e^n$

Aunque el $n=1$ término tendrá que ser manejado con cuidado :-)

Answer 3

@JBC y @robjohn trataron muy bien la base $e$ .

En la base $b$ , $n^{n/\log_b(n)} = b^n$ ya que $n=b^{\log_b n}$ . (Es decir, la función exponencial es la función inversa de la función logarítmica .) De hecho, $\lim_{n\to 1} n^{n/\log_b(n)} = b$ por lo que la fórmula se puede utilizar para todos los $n$ . Así, $$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{n/\log_b(n)}} &=& \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{b}\right)^n. \end{eqnarray*}$$ Esto es sólo una serie geométrica que converge a $\frac{1}{b-1}$ para $b>1$ .

Answer 4

MÉTODO I

Es fácil verlo:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{n}{\log(n)}}}\leq\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\leq 1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=2$$

Podemos concluir que la suma converge.

MÉTODO II

La prueba de condensación de Cauchy también funciona bastante rápido.

Q.E.D. (estas son sólo 2 formas alternativas a la serie geométrica)