Espacio Dual, Vector

Question

Tenemos $x, y$ que están en $V^{\ast}$ (espacio dual)

Supongamos que $\ker(x) \subset \ker(y)$.

Demuestra que existe un escalar $C$ tal que

$x=Cy$

¿Tienes alguna idea?

Por favor, una explicación detallada porque soy muy nuevo en el término de espacio dual

Answer 1

La afirmación es falsa: si $y=0$, entonces su núcleo es $V$, por lo que $\ker x\subset\ker y$, para todo $x$, pero obviamente no hay $C$ cuando $x\ne0.

La afirmación correcta es que existe $C$ tal que $y=Cx.

Si $y=0$, simplemente toma $C=0.

Supongamos que $y\ne0$ (entonces también $x\ne0). Entonces $\ker x$ es un subespacio maximal de $V$, porque $V/\ker x$ es un espacio vectorial unidimensional. Lo mismo es cierto para $\ker y; por lo tanto, $\ker x=\ker y.

Sea $u\in V$ tal que $x(u)\ne0; entonces también $y(u)\ne0. Establece $C=y(u)/x(u).

Si $v\in V$, entonces $v=\alpha u+w$ para algún escalar $\alpha$ y algún $w\in\ker x=\ker y. Luego $x(v)=\alpha x(u)$ y $y(v)=\alpha y(u)$, así que $$ Cx(v)=\frac{y(u)}{x(u)}\alpha x(u)=\alpha y(u)=y(v). $$