Tensor del momento-energía del Lagrangiano de Dirac transformado

Question

Considerando el Lagrangiano de Dirac estándar, $\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi$, y uno transformado que difiere por una derivada total

$$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right).$$

El tensor de energía-momento calculado a partir del Lagrangiano de Dirac puede demostrarse que es $T^{\mu\nu}=i\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi$. Dado eso, debería ser posible demostrar que el tensor de energía-momento calculado a partir de $\mathcal{L}'$ está dado por $T'^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)$.

Estaba intentando hacerlo pero no puedo terminarlo. Estoy usando la fórmula estándar para el tensor de energía-momento,

$$T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\psi\right)}\partial^{\nu}\psi-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}$$

y haciendo,

$$\begin{array}{ll} T'^{\mu\nu} & =\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\eta^{\mu\nu}\left(\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi+\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\\ & =T^{\mu\nu}+\frac{i}{2}\left(\partial^{\nu}\overline{\psi}\right)\gamma^{\mu}\psi\\ & =? \end{array}$$

Editar:

Siguiendo la sugerencia de @Quantum spaghettification obtengo

$$\begin{array}{ll} T'^{\mu\nu} & =\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\left(\partial_{\mu}\psi\right)}\partial^{\nu}\psi+\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\left(\partial_{\mu}\overline{\psi}\right)}\partial^{\nu}\overline{\psi}-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}'\\ & =\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}-\eta^{\mu\nu}\left(\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}+\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}+\frac{i}{2}\left(\partial^{\nu}\overline{\psi}\right)\gamma^{\mu}\psi\\ & =? \end{array}$$

Answer 1

No importa la naturaleza anticonmutativa de los campos de Dirac: si estás atascado en este problema, probablemente no llegaste allí de todos modos. Simplemente define $T^{\mu\nu}$ como:

$$T^{\mu\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\ \partial^{\nu}\psi+\partial^{\nu}\bar{\psi}\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial_{\mu}\bar{\psi}}-\eta^{\mu\nu}\, \mathcal{L}$$

Esta es la forma específica del tensor escrita en la respuesta de Alguien para el caso del campo de Dirac. Nota el orden de los factores en el segundo término: $\bar{\psi}$ es un vector fila, por lo tanto debe escribirse a la izquierda. La definición en la respuesta de Q. Espaguetificación pasó por alto esto, de lo contrario es exactamente igual a esa.

Ahora, tu primera definición fue claramente incorrecta. En la edición, la definición era correcta aparte del orden en el segundo término. En cuanto a la tercera línea en tu edición, hay un error; debería leerse:

$$T'^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}(\partial^{\nu}\bar{\psi})\gamma^{\mu}\psi+\frac{i}{2} \eta^{\mu\nu} \partial_{\sigma}(\bar{\psi}\gamma^{\sigma}\psi)\quad (\star)$$

porque los índices de la matriz gamma y la derivada en el último término están saturados: no puedes contraerlos con los del métrico. Ahora, el segundo y tercer término son la derivada que estás buscando:

$$-\frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}(\partial^{\nu}\bar{\psi})\gamma^{\mu}\psi=-\frac{i}{2}\partial^{\nu}(\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi)$$

En cuanto al último término, usa las ecuaciones de Dirac para escribir:

$$i\partial_{\sigma}(\bar{\psi}\gamma^{\sigma}\psi)=\bar{\psi}(i\gamma^{\sigma}\partial_{\sigma}\psi)+(i\partial_{\sigma}\bar{\psi}\gamma^{\sigma})\psi=m\bar{\psi}\psi-m\bar{\psi}\psi=0$$

En caso de que no lo supieras, la ecuación de Dirac para $\bar{\psi}$ es:

$$i\partial_{\sigma}\bar{\psi}\gamma^{\sigma}=-m\bar{\psi}$$

Como el último término en $(\star)$ es cero y el segundo y tercer término conforman la divergencia, obtienes tu resultado.

Answer 2

El tensor canónico de energía-momento general se define por estos componentes: $$\tag{1} T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi_i )}\partial^{\nu}\phi_i-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L},$$ donde $\phi_i$ son todos los componentes independientes de los campos en el juego. Dado que el Dirac $\psi$ tiene 8 números reales (4 componentes complejos), también necesitas agregar las contribuciones de $\overline{\psi}$.

También, es muy importante recordar que el tensor de energía-momento canónico se define hasta una divergencia $\partial_{\alpha} \, \Theta^{\alpha \mu \nu}$, donde $\Theta^{\alpha \mu \nu} = -\, \Theta^{\mu \alpha \nu}$. Esto te da la posibilidad de encontrar una versión simétrica de $T^{\mu \nu}$ sin cambiar la física (energía total y momento en los campos).

Toma en cuenta que tu lagrangiano: $$\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi,$$ no es un número real. Aunque no es realmente un problema, generalmente es preferible que la acción del campo se defina como un número real:

$$\tag{2} \mathcal{L_{\mathrm{real}}}= \frac{i}{2} \Big( \, \overline{\psi} \, \gamma^{\mu} \,(\partial_{\mu} \, \psi \,) - (\partial_{\mu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\mu} \, \psi \, \Big) - m \, \overline{\psi} \, \psi.$$

Entonces, el tensor de energía-momento simétrico completo es

$$\tag{3} T^{\mu \nu} = \frac{i}{4} \Big( \, \overline{\psi} \, \gamma^{\mu} \, (\partial^{\nu} \, \psi \,) + \overline{\psi} \, \gamma^{\nu} \, (\partial^{\mu} \, \psi \,) - (\partial^{\mu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\nu} \, \psi - (\partial^{\nu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\mu} \, \psi \, \Big)$$