Una pregunta sobre conjuntos de puntos totalmente desconectados.

Question

Sea H un espacio de Hilbert infinitamente dimensional y separable. Sea C un subconjunto cerrado y conectado de H que contiene más de un punto. ¿Puede C ser alguna vez la unión numerable de subconjuntos cerrados y totalmente desconectados de H?

Answer 1

Sea $E_c$ el espacio de Erdös completo (Erdös, Annals of Math vol 41 1940), definido como el subespacio de $\ell^2(\mathbb{N})$ donde todas las coordenadas son irracionales. Es polaco (separable y completamente metrizable) y totalmente desconectado, pero admite una "conectificación" es decir, una topología (aún polaca) en $E_c\cup\{p\}$ que lo hace conectado (y por supuesto induce la de $E_c$). El punto crucial es el hecho de que cualquier subconjunto cerrado y abierto no vacío de $E_c$ es acotado. Entonces, como en la respuesta de Bill Johnson, $E_c$ es la unión de los subespacios cerrados y totalmente desconectados $\overline{B}(0,n)\cup\{p\}$, $n\geq 1$. Queda por destacar que, al igual que cualquier espacio polaco, $E_c\cup\{p\}$ se incrusta como un subconjunto cerrado de $H$ (como se señala en la respuesta de Gerald Edgar).

Answer 2

$C$ es simplemente un espacio métrico completo separable y conectado con más de un punto. Ahora la unión de muchos conjuntos cerrados de dimensión topológica cero debe tener nuevamente dimensión cero. Pero supongo que "totalmente desconectado" no es exactamente lo mismo que "cero dimensional", así que esto aún no es una respuesta completa.

Answer 3

Sea $C$ un espacio de punto de explosión como el abanico de Knaster-Kuratowski (http://en.wikipedia.org/wiki/Knaster–Kuratowski_fan) y $p$ el punto de explosión en $C. Establezca$A_n = \{p\}\cup (C\sim B(p; 1/n))$.