Estoy buscando consejos sobre un problema de teoría de grupos. Mi conocimiento se limita a la teoría de grupos básica, y en el contexto de mi curso, creo que se espera que use el teorema de Lagrange y otras propiedades de cocientes.
Sean H y K subgrupos de un grupo finito G. Demuestra que |H $\cap$ K| es un divisor común de |H| y |K|.
Por el Teorema de Lagrange, sé que si H $\cap$ K es un subgrupo tanto de H como de K, entonces |H $\cap$ K| divide tanto a |H| como a |K|. Mi trabajo hasta ahora:
H $\cap$ K es no vacío:
Dado que H, K $\leq$ G, H, K $\neq$ $\emptyset$, por lo que H $\cap$ K $\neq$ $\emptyset$. (¿Estoy equivocado en esto?)
H $\cap$ K es cerrado bajo productos:
Sean a, b $\in$ H $\cap$ K
a, b $\in$ H y K $\implies$ ab $\in$ H y K $\implies$ ab $\in$ H $\cap$ K.
H $\cap$ K es cerrado bajo inversión:
a $\in$ H $\cap$ K $\implies$ a $\in$ H, K $\implies$ a$^{-1}$ $\in$ H, K $\implies$ a$^{-1}$ $\in$ H $\cap$ K.
Por lo tanto, H $\cap$ K es un subgrupo tanto de H y K, y por el teorema de Lagrange, |H $\cap$ K| divide tanto a |H| y |K|.
No siento que esta prueba sea rigurosa. Ni siquiera estoy seguro de haber estado en lo correcto al asumir que H $\cap$ K era un grupo. Creo que debería haber tomado un enfoque más directamente relacionado con los cocientes, pero esto no fue obvio para mí al principio. Agradecería cualquier consejo.
