Demostrar que si $A$ y $B$ son conjuntos secuencialmente compactos en $R^n$, entonces $A+B$ es secuencialmente compacto.

Question

Demuestra que si $A$ y $B$ son conjuntos secuencialmente compactos en $R^n$, entonces $A+B$ es secuencialmente compacto.

No creo que esta afirmación sea verdadera, pero tampoco puedo encontrar ningún contraejemplo para ello. Me pregunto si alguien me puede dar una pista.

Answer 1

Sea $(c_n)=(a_n+b_n)$ una secuencia en $A+B$ donde $(a_n)$ es una secuencia en $A$ y $(b_n)$ una secuencia en $B$. Podemos extraer $(a_{n_k})$ de $(a_n)$ una secuencia convergente en $A$ y extraemos $(b_{n'_k})$ una secuencia convergente en $B$ de $(b_{n_k})$ por lo tanto la secuencia $(a_{n'_k}+b_{n'_k})$ es una secuencia convergente en $A+B$ extraída de $(c_n)$.

Answer 2

$z_n\in A+B\ni z_n\to z$

entonces $z_n=x_n+y_n,x_n\in A,y_n\in B$

como $A,B$ son sec. compactos entonces existen $x_{n_k}\to x\in A$ y $y_{n_k}\to y\in B$

por lo tanto $z_{n_k}=x_{n_k}+y_{n_k}\to x+y=z\in A+B$