Operadores autoadjuntos en espacios incompletos

Question

Soy actualmente un estudiante de física.

La definición de operadores autoadjuntos que he estudiado es

Definición. Un $A$ definido densamente $A: D_A \rightarrow \mathcal{H}$ es autoadjunto si coincide con su adjunto, donde el adjunto está dado por $$D_{A^*} = \{\psi \in \mathcal{H}|\exists \eta \;\forall \alpha \in D_A: \langle \psi, A\alpha\rangle = \langle \eta, \alpha\rangle \}$$ y $A^* \psi = \eta

Esto me sugiere que el espacio subyacente $\mathcal{H}$ necesita ser un espacio de Hilbert, necesariamente, ya que

(i) el dominio es denso en $\mathcal{H}$ (por lo tanto, necesitamos un espacio completo (?))

(ii) La definición utiliza una estructura de producto interno

¿Es esto cierto, o todavía podemos definirlos en espacios incompletos? La razón por la que pregunto esto es, supongamos que veo una ecuación diferencial al azar (disculpe por la notación típica de física) $$D_x f(x) = g(x);\; x\in (a,b)$$ Dado eso, la referencia que uso dice $$\int_a^b dx |x\rangle\langle x| = 1$$ que en realidad es análogo a algo como la integración sobre una medida de proyección valorada (de algún operador autoadjunto) $$\int_\mathbb{R} dP = id_{\mathcal{H}}$$

Según mi conocimiento, si no podemos definir operadores autoadjuntos (aquí, medida de proyección valorada) sin estructura de espacio de Hilbert, entonces esto no se puede hacer. Y si de hecho esto es cierto, $g \in L^2(a,b)$ y el operador diferencial debe estar definido en el dominio de $L^2$.

¿Puedes decirme si estoy en lo correcto o equivocado (¿y por qué?)

Answer 1

Puede evitar el uso de espacios completos para problemas clásicos donde funciona la separación de variables. Como ejemplo, considere lo siguiente en $L^2[0,2\pi]$ que consiste en funciones continuas: $$A = \frac{1}{i}\frac{d}{dx}$$ El dominio de $A$ puede definirse como todas las funciones continuamente diferenciables $f$ en $[0,2\pi]$ con $f(0)=f(2\pi)$. Este espacio $L^2[0,2\pi]$ no es completo, pero es un espacio de producto interno válido, sin necesidad de agrupar según clases de equivalencia de funciones. Y $A$ tiene un operador resolvente clásico $(A-\lambda I)^{-1}$ que puede obtenerse explícitamente resolviendo una EDO clásica: $$g = (A-\lambda I)^{-1}f \iff -ig'-\lambda g=f,\; g(0)=g(2\pi).$$ Esto tiene una solución única para $\lambda\ne 0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ dada por $$(A-\lambda I)^{-1}f = \frac{e^{i\lambda x}}{e^{-2\pi i\lambda}-1}\int_{0}^{2\pi}ie^{-i\lambda t}f(t)dt+e^{i\lambda x}\int_{0}^{x}ie^{-i\lambda t}f(t)dt.$$ El resolvente tiene polos simples en los autovalores $\lambda=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ con residuos $$R_n f = \left(\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{-in t}dt\right)e^{inx}$$ Sin duda reconocerá esto como la proyección de $f$ en la función propia $e^{inx}$. Es la fórmula de Stone que conecta el resolvente con el objeto espectral: $$\frac{1}{2}(E[a,b]f+E(a,b)f) \\=\lim_{\epsilon\downarrow 0}\frac{1}{2\pi i}\int_{a}^{b}(A-(u-iv)I)^{-1}f-(A-(u+iv)I)^{-1}f du$$ Y esta fórmula le permite construir la medida espectral en todos los intervalos finitos de una manera clásica. Lo anterior funciona para todos los operadores autoadjuntos $A$ en un espacio de Hilbert. La convergencia del límite es en $L^2$, pero esto se mantiene clásico en problemas de EDO clásicos, incluso cuando hay espectro continuo. Algunas de las primeras pruebas generales clásicas de convergencia de expansiones de Fourier se basaron en este método. Para el caso de espectro continuo en $(-\infty,\infty)$, el problema se formula con $f\in L^2$ continuo como $$-ig-\lambda g = f,\;\; g\in L^2(\mathbb{R}).$$ Esto da un espectro continuo igual a $\mathbb{R}$ y la fórmula de Stone da $$E[a,b]f = \mathcal{F}^{-1}(\chi_[a,b]\mathcal{F}f),$$ donde $\mathcal{F}$ es la transformada de Fourier. El sustituto de los espacios completos es la existencia del operador resolvente en el espacio completo de funciones continuas, por ejemplo.

Los objetos espectrales son "constructibles," lo cual tendrían que ser para ser útiles en Mecánica Cuántica. Y puede restringirse a configuraciones clásicas al tratar problemas que se separan. Termina con integrales de Riemann-Stieltjes porque se necesitan funciones generales de densidad espectral, pero eso está lejos de los espacios generales requeridos para estudiar EDP no separables.

Las construcciones de espacio de Hilbert para un operador autoadjunto general le obligan a entrar en espacios completos, pero aún la derivación de la medida espectral en un intervalo sigue la fórmula de Stone, y las integrales espectrales se pueden formar a partir de límites de integrales clásicas de Riemann de funciones holomorfas vectoriales $R(\lambda)f=(A-\lambda I)^{-1}f$.