Convergencia en Lp débil

Question

He visto esta afirmación, así que no quiero discutirla, pero estoy curioso acerca de dónde falla mi lógica.

Problema 6.2 de Folland

Si $1

El ejemplo clásico de $\{f_n\}\nrightarrow f $ puntualmente pero $\{f_n\}\rightarrow f$ en $L^p$ fuertemente es $\{f_n\}=\{\chi_{[0,.5]},\chi_{[0,.25]},\chi_{[.25,.5]},\chi_{[0,.125]},\chi_{[.125,.25]},...\}$ y así sucesivamente de esta manera con funciones indicadoras de longitud $\frac{1}{2}$ elevadas a una potencia.
Es fácil demostrar que esta secuencia no converge puntualmente pero sí converge fuertemente en $L^p$ para $1\le p<\infty$. Si la secuencia converge fuertemente entonces también debe converger débilmente, por lo que esta secuencia tiene que converger débilmente pero no puntualmente dentro de $L^p$ para $1

Obviamente mi lógica debe estar equivocada, pero ¿dónde? Gracias por la ayuda.

Answer 1

La pregunta fue respondida en los comentarios: la afirmación de Folland es para $\ell^p$, el ejemplo es para $L^p$. Agregaré la razón de la diferencia. El espacio de medida subyacente de $\ell^p$ es discreto, con cada punto teniendo medida positiva. Esto nos permite probar la convergencia débil contra funciones características de singleton. Por la definición de convergencia débil, las integrales $\int f_n\chi_{\{p\}}$ deben converger, lo que implica la convergencia puntual de $f_n.

Para $L^p$, el espacio de medida subyacente no contiene átomos, y el razonamiento anterior no se aplica.