Producto de los polinomios de Chebyshev de segunda clase?

Question

Entonces Wikipedia tiene esta fórmula para un producto de dos polinomios de Chebyshev de segundo tipo evaluados en un $x$ fijo con diferentes índices: $$ U_n(x)U_m(x)=\sum_{k=o}^{n}U_{m-n+2k}(x) $$ Lo cual sería realmente útil para mí. Lo único es que he estado buscando en la literatura esta fórmula y no la veo en ningún lado.

Sería bueno si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre dónde puedo buscar esto, por qué es cierto, o por qué no lo es.

¡Gracias!

Answer 1

La secuencia $(U_n)$ puede ser definida por la identidad, válida para todo $t$ tal que $\sin t \neq 0$, $$U_n(\cos t)=\frac{\sin((n+1)t)}{\sin t}. $$ Así, $$ \sin t \cdot \sum_{k=0}^n U_{m-n+2k}(\cos t)=\Im\left(\sum_{k=0}^n \mathrm e^{\mathrm i(m-n+2k+1)t}\right)=\Im(z), $$ donde $$ z= \mathrm e^{\mathrm i(m-n+1)t}\sum_{k=0}^n \mathrm e^{2k\mathrm it}= \mathrm e^{\mathrm i(m-n+1)t} \frac{\mathrm e^{2(n+1)\mathrm it}-1}{\mathrm e^{2\mathrm it}-1}= \mathrm e^{\mathrm i(m+1)t} \frac{\sin((n+1)t)}{\sin t}. $$ Así, $$ \sum_{k=0}^n U_{m-n+2k}(\cos t)=\frac{\sin((m+1)t)}{\sin t} \cdot \frac{\sin((n+1)t)}{\sin t}= U_m(\cos t)\cdot U_n(\cos t). $$