Álgebra de cola $\sigma$ para una secuencia de conjuntos

Question

1. Supongamos que $\{A_n, n \in \mathbb{N}\}$ es una secuencia de subconjuntos de $\Omega$. Cada $A_n$ genera una $\sigma$-álgebra como $\mathcal{A}_n:=\{ A_n, A_n^c,\emptyset, \Omega \}$. Me preguntaba si podemos simplificar $\cap_{i=1}^{\infty} \sigma(\cup_{j=i}^{\infty} \mathcal{A}_j)$, es decir, la $\sigma$-álgebra de la cola de la secuencia de $\sigma$-álgebras $\{ \mathcal{A}_n, n \in \mathbb{N} \}$?

   Supongo que $\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n:= \cap_{i=1}^{\infty} \cup_{j=i}^{\infty} A_n$ pertenece a $\cap_{i=1}^{\infty} \sigma(\cup_{j=i}^{\infty} \mathcal{A}_j)$, y no sé si $\liminf_{n \rightarrow \infty} A_n:= \cup_{i=1}^{\infty} \cap_{j=i}^{\infty} A_n$ pertenece a $\cap_{i=1}^{\infty} \sigma(\cup_{j=i}^{\infty} \mathcal{A}_j)$?

2. Si $\{A_n, n \in \mathbb{N}\}$ son eventos independientes en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, ¿podemos simplificar aún más la $\sigma$-álgebra de la cola $\cap_{i=1}^{\infty} \sigma(\cup_{j=i}^{\infty} \mathcal{A}_j)$? La razón por la que hice esta pregunta es porque me preguntaba por qué la $\sigma$-álgebra de la cola se dice que es trivial en este caso independiente y cómo se ve que es trivial?

¡Gracias y saludos!

Answer 1

La sigma-álgebra de la cola es la sigma-álgebra de conjuntos $B$ tales que, para cada número entero $N$, uno puede construir $B$ solo a partir de los conjuntos $A_n$ con $n\ge N$. Por ejemplo, el limsup/liminf de $(A_n)_n$ es también el limsup/liminf de $(A_{n+N})_n$, por lo tanto el limsup/liminf está en la sigma-álgebra de la cola. Aquí no hay ninguna medida involucrada.

En el caso independiente con respecto a una probabilidad $P$, la sigma-álgebra de la cola es trivial en el sentido de que solo contiene conjuntos de probabilidad $P$ cero o uno. Por ejemplo, el limsup/liminf de cualquier secuencia que sea independiente para $P$ tiene probabilidad $P$ cero o uno. Esta es una propiedad de $P$ en relación con las sigma-álgebras consideradas pero definitivamente no una propiedad de las sigma-álgebras por sí solas.