Encontrando el valor esperado problema a nivel escolar

Question

El problema es el siguiente.

Hay $n$ cajas con regalos y $n$ personas. El primero elige una caja y toma su regalo. El segundo no sabe de qué caja el regalo ya ha sido tomado por el primero, por lo que elige alguna caja y recibe su regalo si hay uno y así sucesivamente. ¿Cuántos regalos quedarán en las cajas (no serán tomados)? Supongo que la pregunta correcta sería cuál es el valor esperado de los regalos que quedan en la caja.

Nunca he aprendido teoría de la probabilidad ni siquiera en la escuela, así que no sé qué hacer. Pero busqué las definiciones en Google y sé que la probabilidad se traduce al lenguaje de la teoría de la medida.

Así que supongo que estoy pidiendo que se traduzca esto al lenguaje de medida e integral y luego tal vez pueda resolverlo fácilmente.

Answer 1

Una caja permanece llena si y solo si nunca es seleccionada, lo cual sucede con una probabilidad $\left(1-\frac1n\right)^n\approx\frac{1}{e}$. En particular, este también es el número medio de regalos restantes en esa caja. Dado que las medias son aditivas incluso para variables dependientes, el número medio de regalos restantes es $n$ veces esto.

Answer 2

Deje $X_i= 0$ si el regalo en la caja $i$-ésima (de un total de $n)$ es tomado, de lo contrario, $X_i = 1.$ Así $P(X_i = 1) = (1 - 1/n)^n$ y $E(X_i) = (1-1/n)^n.$ Buscas $$E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)\\ = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)\\ = n(1-1/n)^n.$$

Simulación de un millón de ejecuciones con $n = 10$ cajas; en cada ejecución, t es el número de regalos tomados:

set.seed(1123)
m = 10^6;  n = 10
t = replicate(m, length(unique(sample(1:n, n, rep=T))))
mean(n-t)      # promedio de regalos no tomados
[1] 3.48815    # aprx 3.487
n*(1-1/n)^n
[1] 3.486784   # exacto de la fórmula

Para $n = 100$ cajas, la simulación dio $36.605$ y la fórmula da $36.603.$

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Nota: Aunque es cierto que $E(X_i) = (1 - 1/n)^n \approx 1/e$ para $n$ grande, esta relación límite no es de mucha utilidad para encontrar el número esperado de regalos no reclamados (a un decimal), a menos que el número $n$ de cajas sea bastante grande.

n = c(5, 10, 20, 50, 100);  r = (1-1/n)^n;  
ans=n*r;  aprx = n*exp(-1)
cbind(n,r,ans,aprx)
       n         r       ans      aprx
[1,]   5 0.3276800  1.638400  1.839397
[2,]  10 0.3486784  3.486784  3.678794
[3,]  20 0.3584859  7.169718  7.357589
[4,]  50 0.3641697 18.208484 18.393972
[5,] 100 0.3660323 36.603234 36.787944