Actualmente estoy tratando de dar sentido a los productos y coproductos en diferentes categorías, e incluso al empezar con los ejemplos básicos (producto cartesiano y unión disjunta en la categoría de conjuntos) he encontrado que no entiendo cómo cumplen la definición de un producto y coproducto para una de las condiciones.
La definición que me dieron es la siguiente. Dado un funtor $F:I\to C$ donde $I$ es una categoría discreta y $C$ es alguna categoría arbitraria, un coproducto es un límite inductivo de $F$ (una familia de mapas indexada por $I$ que es un objeto inicial en la categoría de flechas ($F \to C$), de manera similar un producto es el límite proyectivo en la categoría ($C \to F$).
Para una familia de conjuntos $(X_{i})_{i \in I}$, si definimos un conjunto $C$ que es su unión disjunta, y lo equipamos con una familia de embeddings $\iota_{j} :X_{j} \hookrightarrow C$ por $x\mapsto (x,j)$ para cada $j\in I, puedo ver cómo cumple con las otras propiedades, pero todavía no entiendo por qué este objeto tiene que ser inicial para $(X_{i})_{i \in I}$.
¿Qué es exactamente lo que hace que esta familia de mapeos sea inicial?
Gracias de antemano.
