Comprendiendo productos y coproductos

Question

Actualmente estoy tratando de dar sentido a los productos y coproductos en diferentes categorías, e incluso al empezar con los ejemplos básicos (producto cartesiano y unión disjunta en la categoría de conjuntos) he encontrado que no entiendo cómo cumplen la definición de un producto y coproducto para una de las condiciones.

La definición que me dieron es la siguiente. Dado un funtor $F:I\to C$ donde $I$ es una categoría discreta y $C$ es alguna categoría arbitraria, un coproducto es un límite inductivo de $F$ (una familia de mapas indexada por $I$ que es un objeto inicial en la categoría de flechas ($F \to C$), de manera similar un producto es el límite proyectivo en la categoría ($C \to F$).

Para una familia de conjuntos $(X_{i})_{i \in I}$, si definimos un conjunto $C$ que es su unión disjunta, y lo equipamos con una familia de embeddings $\iota_{j} :X_{j} \hookrightarrow C$ por $x\mapsto (x,j)$ para cada $j\in I, puedo ver cómo cumple con las otras propiedades, pero todavía no entiendo por qué este objeto tiene que ser inicial para$(X_{i})_{i \in I}$.

¿Qué es exactamente lo que hace que esta familia de mapeos sea inicial?

Gracias de antemano.

Answer 1

Pista 1: Estás trabajando con la propiedad universal de los límites en general. Para la mayoría de las personas, ciertamente no es el mejor punto de partida. Intenta escribir qué significa explícitamente la propiedad universal en este caso particular (dominio discreto), simplifica considerablemente. Puedes verificar lo que obtuviste o (si no puedes hacerlo) lo que se supone que debes obtener buscando la definición de (co)producto, y no el límite en general.

Pista 2: La propiedad universal (la condición de inicialidad que mencionas) consta de dos partes: la existencia de cierta morfismo, y su unicidad. Una vez que escribas todo correctamente, ambos pasos son muy cortos aquí, pero vale la pena tener en cuenta la distinción en casos más complicados.

Si esto no ayuda, te recomendaría decir exactamente dónde estás atascado, en lugar de preguntar sobre todo el proceso. Es lo suficientemente fácil para alguien aquí escribirlo para ti, pero realmente es mejor que lo hagas tú mismo.