Serie de Taylor para arctan(x)

Question

Tengo un problema grave con el siguiente ejemplo:

$$f(x) = \arctan(x).$$

La tarea es calcular el polinomio de Taylor de tercer grado. Esto es fácil y lo resolví.

La segunda tarea es obtener el error de Lagrange para $$ x \le \frac{1}{10} .$$

Sé que la ecuación para el error es $$ R(f,x,x_0) = \frac{1}{(n+1)!} \cdot f^{n+1}(\xi) \cdot (x-x_0)^{n+1} $$ y que, aplicada a este ejemplo específico, puede escribirse como:

$$ R(f,x,0) = \frac{1}{4!} \cdot f''''(\xi) \cdot x^4 .$$

También encontré la cuarta derivada, que es $$\frac{24x-24x^3}{(x^2+1)^4}.$$ También puedo establecer $x = \frac{1}{10}$ para obtener el "peor caso", pero ¿cómo puedo encontrar un buen $ \xi ?

Estaría feliz si me pudieras ayudar.

¡Gracias!

Answer 1

Probablemente no deberías estar pensando en encontrar un $\xi$ específico, sino más bien, estimar qué tan grande puede ser $|f''''(x)|$ (por cierto, nota los signos de valor absoluto). Cuanto más pienses en esto, mejor estimación puedes obtener (quizás), pero probablemente una estimación bastante grosera será suficiente, por lo que es mejor ir con ideas bastante simples. Aquí hay una posibilidad.

Dado que $|x|<\frac1{10}$ tenemos $$|x|>|x^3|$$ y entonces $$|24x-24x^3|<|24x|+|24x|<\frac{48}{10}\ ;$$ además $$|x^2+1|\ge1\ .$$ Por lo tanto $$\left|\frac{24x-24x^3}{(x^2+1)^4}\right|<\frac{48/10}{1^4}=4.8\ .

¡Espero que esto te ayude!

Por cierto, estoy asumiendo que $x_0=0$: no lo mencionaste, pero por tu cálculo parece ser eso.