Suma telescópica en forma $\displaystyle \arcsin$

Question

Si $\displaystyle S_{n}$

$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}\sin^{-1}\bigg[\frac{(2k+1)}{k(k+1)\sqrt{k(k+2)}+\sqrt{(k+1)(k-1)}}\bigg]$

Entonces $\displaystyle 100\cos(S_{99})=$

Estoy tratando de convertirlo en $\displaystyle \sin^{-1}\bigg(\sin A\cos B+ \cos A\sin B\bigg)$

Por lo tanto, podemos escribirlo como

$\displaystyle \frac{k+(k+1)}{k(k+1)\sqrt{k(k+2)}+\sqrt{(k+1)(k-1)}}=\frac{1}{(k+1)}\frac{1}{k\sqrt{k+2}}+\frac{1}{k}\frac{1}{\sqrt{(k+1)(k-1)}}$

Pero al dividirlo no pude convertirlo en la forma $\displaystyle \sin (A+B)$

Por favor ayúdame ¿Cómo puedo dividirlo en la forma anterior para poder usar la Suma Telescópica?

Gracias

Answer 1

Espero que esto ayude, $$100\cos(S_{99})=100\cos\left(\displaystyle \sum^{99}_{k=1}\sin^{-1}\bigg(\frac{(2k+1)}{k(k+1)\left(\sqrt{k(k+2)}+\sqrt{(k^2-1)}\right)}\bigg)\right)$$

Racionalizando el denominador;

$$100\cos(S_{99})=100\cos\left(\displaystyle \sum^{99}_{k=1}\sin^{-1}\bigg(\frac{(2k+1)(\sqrt{k^2+2k}-\sqrt{k^2-1})}{k(k+1)(k^2+2k-k^2+1)}\bigg)\right)$$ $$100\cos(S_{99})=100\cos\left(\displaystyle \sum^{99}_{k=1}\sin^{-1}\bigg(\frac{\sqrt{k^2+2k}-\sqrt{k^2-1}}{k(k+1)}\bigg)\right)$$

$$100\cos(S_{99})=100\cos\left(\displaystyle \sum^{99}_{k=1}\sin^{-1}\bigg(\frac{\sqrt{(k+1)^2-1}-\sqrt{k^2-1}}{k(k+1)}\bigg)\right)$$

$$100\cos(S_{99})=100\cos\left(\displaystyle \sum^{99}_{k=1}\sin^{-1}\bigg(\frac{1}{k}{\sqrt{1-\frac{1}{(k+1)^2}}}-\frac{1}{k+1}{\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}\bigg)\right)$$

$$100\cos(S_{99})=100\cos\left[\displaystyle \sum^{99}_{k=1}\left(\sin^{-1}\bigg(\frac{1}{k}\bigg)-\sin^{-1}\bigg(\frac{1}{k+1}\bigg)\right)\right]$$

$$100\cos(S_{99})=100\cos\left[\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\frac{1}{100}\right]$$

Utilizando $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin(\theta)$:

$$100\cos(S_{99})=100\sin\left(\sin^{-1}\frac{1}{100}\right)$$

Usando $\sin(\sin^{-1}x)=x, \, \forall\, x \in [-1,1]$

$$\boxed{100\cos(S_{99})=100 \times \frac{1}{100} = 1}$$