Mostrar que si f es continua y periódica, entonces f alcanza tanto su mínimo como su máximo.

Question

Demuestra que si f es continua y periódica, entonces f alcanza tanto su mínimo como su máximo.

La solución se muestra a continuación:

Pero me pregunto por qué eligió la k de esta manera y si la solución no contiene ningún error?

No puedo entender la idea general de la prueba, ¿podría alguien explicármelo por favor?

Answer 1

Considere la imagen a continuación:

Primero dividimos la recta real en los intervalos $[0,T]$, $[T,2T]$, ... (también negativos, pero asumimos que $C>0$ para esta imagen). Supongamos que $C$ existe tal que $f(C)>M = \sup\{f(x):0\leq x \leq T\}$.

Elegimos $k$ tal que $C\in [kT,(k+1)T]$. Esto es posible ya que estos intervalos cubren $\mathbf{R}$. Esto es precisamente lo que el autor significa al dejar que $k = \lfloor C/T \rfloor $ que es el entero más grande $k$ tal que $k\leq C/T$ lo que implica que $k\leq C/T\leq k+1$ y por lo tanto $C\in [kT,(k+1)T].$

Ahora $kT\leq C\leq (k+1)T\Rightarrow 0\leq C-kT\leq (k+1)T-kT = T$ y por lo tanto esto implicaría que si escribimos $C' = C-kT$

$$f(C') = f(C-kT) = f(C) >M$$

sin embargo $C'\in [0,T]$ por la desigualdad anterior y por lo tanto $f(C')\leq M$ así que hemos llegado a una contradicción.

Answer 2

Esta prueba, aunque correcta, es muy torpe, por decir lo menos.

Dado que $f$ es periódica, cualquier valor tomado por $f$ ya está tomado en el intervalo $[0,T]=:J$. La restricción de $f$ a $J$ es continua, por lo tanto $f\restriction J$ toma un valor maximal $M$ en algún punto $\xi\in J$. Se sigue que $\max_{x\in{\mathbb R}} f(x)=M=f(\xi)$.