El límite inferior para la secuencia de variables aleatorias positivas donde la LGN no se cumple

Question

Supongamos que $X_1, \dots, X_n$ son variables aleatorias continuas positivas iid que cumplen $E(X_i)=\infty$, y denotemos el promedio de la muestra por $\bar{X}_n=n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$, entonces es sencillo demostrar que $$\limsup_{n\rightarrow\infty}\ \bar{X}_n=\infty \quad\text{casi seguramente.}$$ Esto es algo así como una Ley Fuerte de los Grandes Números (SLLN) al revés, aunque solo describe el límite superior. Me interesa saber qué se puede decir del límite inferior, que creo que es necesario mostrar \begin{align} \lim_{n\to\infty}P\left[\bar{X}_n> 1+o(1)\right] = 1. \end{align> Si puedo demostrar que $\liminf_{n\to\infty}\bar{X}_n$ diverge de alguna manera probabilística, entonces creo que el Lema de Fatou completa el resto.

1. ¿Me olvidé de algo?
2. ¿Cómo puedo demostrar que $\liminf_{n\to\infty}\bar{X}_n$ diverge?

Answer 1

Bajo tus supuestos, se mantendrá que de hecho $\lim_{n\to \infty} \bar{X}_n=\infty$ . Usa la truncación para obtener integrabilidad y aplica el LLL.

En caso de que $X$ pueda ser infinita con probabilidad positiva, estás hecho, ya que si una de las variables es infinita, la media aritmética será infinita.

Supongamos que $X$ es finita casi seguramente. Entonces, $X_i 1_{[0,N]} \to X_i$ para $N\to\infty$ monótonamente, así que $E(X_i 1_{[0,N]}) \to E(X_i)$. Finalmente,

$$\frac{1}{n} \sum_i X_i \ge \frac{1}{n} \sum_i X_i 1_{[0,N]} \to_n E[X_i 1_{[0,N]}] \to_N E[X_1] = \infty.$$