¿Por qué cualquier familia acotada en norma en un espacio de Banach reflexivo es relativamente débilmente compacta?

Question

¿Por qué es cualquier familia acotada en norma $T \subseteq L(X)$ en un espacio de Banach reflexivo $X$ relativamente débilmente compacta?

Answer 1

Recuerde que $L(X,Y')\cong_1 (Y\otimes_{\pi} X)'$ a través del isomorfismo isométrico canónico $I_{X,Y}$ bien definido por $I_{X,Y}(T)(y\otimes_\pi x)=(T(x))(y)$. Dado que $X=X''$ concluimos que $$ L(X)\cong_1 (X'\otimes_{\pi} X)' $$ Como $I_{X,X'}$ es un isomorfismo isométrico, entonces la familia $\mathcal{S}:=I_{X,X'}(\mathcal{T})\subset (X'\otimes_{\pi} X)'$ está acotada en norma, por lo tanto $\operatorname{cl}_{w^*}(\mathcal{S})$ es $w^*$-compacto. Dado que $L^\sigma(X)\cong((X'\otimes_{\pi} X)',w^*)$ a través de $I_{X,X'}$, entonces $\operatorname{cl}_{L^\sigma(X)}(\mathcal{T})=I_{X,X'}^{-1}(\operatorname{cl}_{w^*}(\mathcal{S}))$ es compacto en $L^\sigma(X)$. Por lo tanto, $\mathcal{T}$ es una familia relativamente débilmente compacta.