¿Es todo un variedad cerrada y simplemente conexa un espacio de recubrimiento no trivial?

Question

Sabemos que todo espacio de cobertura universal es simplemente conexo. La afirmación inversa es trivialmente verdadera, cada espacio simplemente conexo es un espacio de cobertura de sí mismo. Pero me pregunto qué espacios simplemente conexos, específicamente variedades, son espacios de cobertura de otro espacio (conectado) que no sea él mismo.

Encontré este artículo que muestra que existen ciertas variedades contractibles abiertas simplemente conexas que no son espacios de cobertura no triviales de variedades. Si nos restringimos a variedades simplemente conexas cerradas, ¿también podemos encontrar ejemplos similares, o siempre puede haber una variedad diferente que cubra?

Answer 1

El múltiple $\mathbb{CP}^2$ no es el espacio de cobertura universal de ningún otro múltiple que no sea él mismo.

Una forma de ver esto es notar que si $M \to N$ es una cobertura de $d$ hojas de múltiples cerrados, entonces $\chi(M) = d\chi(N)$. Como $\chi(\mathbb{CP}^2) = 3$, vemos que $d = 1$, en cuyo caso $N = \mathbb{CP}^2$, o $d = 3$. Si existiera una cobertura de tres hojas, el múltiple $N$ satisfaría $\pi_1(N) \cong \mathbb{Z}_3$ (ya que este es el único grupo de orden $3$). Como $\mathbb{Z}_3$ no tiene subgrupos de índice dos, el múltiple $N$ es orientable. Pero luego la firma de $N$ cumple $1 = \sigma(\mathbb{CP}^2) = 3\sigma(N)$ lo cual es imposible, por lo tanto, el único múltiple que cubre a $\mathbb{CP}^2$ es él mismo.

Más generalmente, la suma conexa de $k$ copias de $\mathbb{CP}^2$ no cubre ningún múltiple que no sea él mismo. El argumento anterior para la orientabilidad del cociente no se aplica cuando $k$ es par, en su lugar se puede usar el argumento en esta respuesta (que funciona para cualquier $k$).

Answer 2

Un simple espacio topológico cerrado simplemente conexo $n$-dimensional para $n = 2, 3$ es una esfera, por lo que el ejemplo más pequeño ocurre en una dimensión de al menos $4$. En la dimensión $4$ podemos mostrar que $\mathbb{CP}^2$ no cubre otro espacio. Hay dos argumentos interesantes dados en las respuestas a esta pregunta en math.SE, los cuales esbozaré brevemente:

1. Utilizando el teorema del punto fijo de Lefschetz, podemos mostrar que cada difeomorfismo $f : \mathbb{CP}^2 \to \mathbb{CP}^2$ tiene un punto fijo. Se deduce que $\mathbb{CP}^2$ no admite una acción libre por parte de ningún grupo no trivial. Este argumento se generaliza a todos los $\mathbb{CP}^{2k}$.

2. $\chi(\mathbb{CP}^2) = 3$, por lo que un espacio no trivial que $\mathbb{CP}^2$ cubre solo puede tener $\chi(X) = 1$. Este espacio debe ser un cociente por alguna acción de $\mathbb{Z}/3$ y por lo tanto tiene $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}/3$, lo que implica que $H^1(X, \mathbb{F}_2) = 0$ y por lo tanto que $X$ es orientable. Pero esto implica que $b_4 = 1$ por lo que $\chi(X) \ge 2$; contradicción. Este argumento se generaliza a $\mathbb{CP}^{2k}$ siempre que $2k+1$ sea primo.

Vale la pena destacar la forma en que ambos argumentos fallan para las esferas $S^n$ (que cubren los espacios proyectivos reales $\mathbb{RP}^n$): 1) Lefschetz muestra que un difeomorfismo puede no tener puntos fijos si actúa por $(-1)^{n+1}$ en $H_n$, lo cual hace el mapa antípoda, y 2) $\chi(S^n) = 1 + (-1)^n$ por lo que cuando $n$ es impar solo aprendemos que un espacio cubierto también tiene $\chi = 0$ (verdadero, por ejemplo, de los espacios de lentes) y cuando $n$ es par aprendemos que un espacio cubierto no trivial tiene $\chi = 1$, $\pi_1 = \mathbb{Z}_2$ y no puede ser orientable, lo cual es consistente y cierto para $\mathbb{RP}^n$.

También quiero señalar que, a diferencia de la clasificación de espacios de recubrimiento, que es puramente homotópica en el sentido de que solo depende de $\pi_1$, la clasificación de espacios cubiertos depende delicadamente del tipo de homeomorfismo. Por ejemplo, un punto no cubre nada de manera no trivial, pero $\mathbb{R}$ sí lo hace. De hecho, para cada grupo $G$ y cada espacio simplemente conexo $X$ se puede encontrar un espacio equivalente en homotopía $X'$ que cubra un espacio con $\pi_1 \cong G$. Por lo tanto, estudiar espacios cubiertos es genuinamente una cuestión topológica de conjuntos de puntos.

Answer 3

Abajo, daré un ejemplo que, como variedad topológica no trivialmente cubre, pero como variedad suave no puede.

Recuerde que en cada dimensión, el conjunto de tipos de difeomorfismos de $S^n$ forma un grupo abeliano bajo la operación de suma conectada, donde el inverso de un elemento está dado por cambiar la orientación.

Los elementos de orden $2$ en este grupo son precisamente las esferas exóticas que admiten un difeomorfismo que invierte la orientación.

En dimensión $10$, el grupo de esferas exóticas tiene orden $6$. Por el teorema de Cauchy, hay un elemento $\Sigma$ de orden $3$. En particular, tal $\Sigma$ no admite un difeomorfismo que invierta la orientación.

Sigue de una fácil aplicación de la fórmula de punto fijo de Lefschetz que cualquier difeomorfismo que preserva la orientación $f:\Sigma\rightarrow \Sigma$ debe tener un punto fijo. Por lo tanto, $\Sigma$ no puede cubrir suavemente nada.

Por otro lado, $\Sigma$, siendo homeomórfico a $S^{10}$, puede cubrir topológicamente $\mathbb{R}P^{10}$.