En el comentario que dicen saber lo que es una convergencia de la secuencia. Sobre los reales de una secuencia de Cauchy es la misma cosa. Entonces, ¿por qué nos preocupamos por ellos, usted puede pedir. Aquí es por qué:
Recordar: Una secuencia $(a_n)$ de los números reales converge al límite de $a\in \mathbb R$ si $\forall \epsilon>0\ \exists N\in\mathbb N:\forall n\geq N\ |a-a_n|<\epsilon$.
Usted probablemente ha visto los ejemplos de convergencia de las secuencias. $\frac 1n$ es uno de ellos, y el límite es de $0$. Supongo que te han visto también la razón por la que (se reduce el axioma de Arquímedes). En general, el juego funciona de la siguiente manera: adivina el derecho de limitar y, a continuación, hacer algo de manipulación algebraica hasta encontrar un adecuado $N$ todos los $\epsilon >0$.
Puede molestar a usted que usted tiene que saber el límite antes de que en realidad se puede mostrar algo. No hay otra manera de formular la convergencia que no se basan en el derecho de adivinar el límite? De hecho hay: secuencias de Cauchy. Tenga en cuenta que el límite no se muestran en la definición y podemos empezar a probar cosas sin asumir que un número es el límite.
Entonces, ¿qué hace un límite convergente? La diferencia de los elementos posteriores de la secuencia sin duda debe ser arbitrariamente pequeño. Así que una ingenua suposición para una condición sería
$$|a_n-a_{n+1}|<\epsilon$$
para todos los $n\geq N$.
Pero esto no es suficiente, como se puede ver en la secuencia
$$s_n=\sum_{i=1}^n\frac 1i.$$
Resulta que el más fuerte de la asunción
$$|a_n-a_{m}|<\epsilon$$
para todos los $n,m\geq N$ es suficiente. Así que usted puede no sólo comparar dos elementos posteriores de la secuencia, pero cualquiera de los dos que aparecen después de un cierto tiempo.
Por lo que podemos relativamente fácil demostrar que cada convergencia de la secuencia es de Cauchy. ¿Qué acerca de la otra dirección, es decir, cada secuencia de Cauchy converge? Bueno, dependiendo de su configuración, puede definir los reales, precisamente, como la finalización de $\mathbb Q$. Y aquí radica la verdadera fuerza de secuencias de Cauchy:
Imagen que todavía no saben lo que los reales son. Usted acaba de saber los racionales $\mathbb Q$ (a definir los números naturales a través de los axiomas de Peano y derivar primero de los enteros y, a continuación, los racionales desde allí).
A continuación, puede escribir la secuencia de
$$a_1=1,\ a_{n+1}=\frac {a_n}2+\frac1a_n$$
Esta secuencia converge a $\sqrt 2$, pero hay que esperar: ni siquiera sabemos lo $\sqrt 2$ es. Todos sabemos que son los racionales. Pero el seqeunce todavía converge, o no? La definición de convergencia requiere un límite, pero no es conveniente limitar en $\mathbb Q$. Pero podemos tomar la cosa más cercana a la convergencia disponibles: secuencias de Cauchy. Nos puede mostrar que la sucesión es de Cauchy. Se dice entonces en $\mathbb R$ cualquier secuencia de Cauchy converge y se acaba de definir los reales.
Y esta idea va en. Usted puede tomar cualquier espacio que te gusta (que probablemente no sabes muchos ejemplos, pero usted puede tomar el espacio de todos los polinomios, o todas las funciones continuas, etc.) Podemos definir distancias (como el absolut valor en los reales) y puede escribir secuencias. La noción de convergencia no siempre tiene sentido. La noción de secuencia de Cauchy.
Edit: Obviamente, existen otras definiciones de los números reales. Si desea trate de probar lo siguiente:
Everey delimitada de la secuencia de los números reales tiene una convergencia de subsequence $\Rightarrow$ cada secuencia de Cauchy de números reales converge.
