$X = f^{-1}(f(X))$ si y solo si $X = f^{-1}(Z)$ para algun $Z \subseteq B$

Question

En mi estudio de funciones, encontré este resultado en ”Pruebas y Fundamentos” de Ethan D. Bloch que estoy intentando demostrar. Primero, ya sé que $X \subseteq f^{-1}(f(X))$ y $f(f^{-1}(Y)) \subseteq Y $ y estoy usando estos dos resultados en mi prueba.

Resultado: Sea $f:A \rightarrow B$ una función y sean $X \subseteq A$ y $Y \subseteq B$. Entonces $X = f^{-1}(f(X))$ si y solo si $X = f^{-1}(Z)$ para algún $Z \subseteq B$.

Mi demostración es la siguiente.

Prueba: $\impliedby$. Supongamos que existe un conjunto $Z \subseteq B$ tal que $X = f^{-1}(Z)$. Sea $Z_0$ ese conjunto. Por el resultado mencionado anteriormente, tenemos que $X \subseteq f^{-1}(f(X))$. Sea $x_0 \in f^{-1}(f(X))$. Por definición, $f(x_0) \in f(X)$. Dado que $X = f^{-1}(Z_0)$, vemos que $f(x_0) \in f(f^{-1}(Z_0))$. Por el segundo resultado mencionado anteriormente, concluimos que $f(x_0) \in Z_0$. Por definición, tenemos que $x_0 \in f^{-1}(Z_0)$. Por lo tanto, $x_0 \in X$. Por definición de igualdad de conjuntos concluimos que, en estas condiciones, $X = f^{-1}(f(X))$.

$\implies$. Supongamos que $X = f^{-1}(f(X))$ y sea $Z_1$ el conjunto definido por $Z_1 = f(X)$. Por definición, $f(X) =$ {$b \in B$ | $b = f(x)$ para algún $x \in X$}. Por lo tanto, $f(X) \subseteq B$. De aquí deducimos que $Z_1 \subseteq B$. Por hipótesis, tenemos que $X = f^{-1}(f(X))$, por lo tanto $X = f^{-1}(Z_1)$. Hemos demostrado que existe un subconjunto de $B$ tal que la imagen inversa de este conjunto es $X$.

Mi PROBLEMA:

1. Para mí, la primera parte de la prueba parece correcta pero me gustaría recibir algún comentario al respecto.

2. La segunda parte me está incomodando. Simplemente no me parece correcta. ¿Es correcta? ¿Hay algún otro enfoque para demostrar la segunda parte?

3. En el libro, Bloch da algunas pistas para algunos ejercicios. Y para este, sugiere el uso del siguiente teorema: “Sea $f:A \rightarrow B$ una función. Sean $S, T \subseteq B$. Si $S \subseteq T$, entonces $f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T)$”. Aunque no veo la razón para usar este teorema aquí. ¿Tienes alguna idea?

Gracias por tu atención.

Answer 1

Su demostración de la segunda parte es correcta. De hecho, esta es la parte "fácil" del problema. Si $X=f^{-1}(f(X))$ entonces ciertamente $X$ tiene la forma $f^{-1}(Z)$ para algún $Z\subseteq Y$. Simplemente deja $Z=f(X)$ como lo has hecho.

En cuanto a la pista, podrías argumentar la primera parte de la siguiente manera.

Supongamos que $X=f^{-1}(Z)$. Entonces $f(X)\subseteq Z$. Así que $f^{-1}(f(X))\subseteq f^{-1}(Z)$ (por la pista). Esto dice que $f^{-1}(f(X))\subseteq X$ por la suposición de que $X=f^{-1}(Z)$. Por lo tanto, $f^{-1}(f(X))= X$ ya que $X\subseteq f^{-1}(f(X))$ siempre es cierto (como señalaste).

(Esto es más o menos lo mismo que tu demostración, simplemente usando menos palabras. Implícitamente también utilizas la pista en tu argumento.)