¿Cómo resolver este sistema de 3 ecuaciones con 3 variables?

Question

Me encontré con este sistema con constantes $a_{i,j}>0$ que quiero resolver para $x,y,z \in\mathbb{R}$:

\begin{align} a_{2,1}y+a_{3,1}z=& x(y+z) \\ a_{1,2}x+a_{3,2}z=& y(x+z) \\ a_{1,3}x+a_{2,3}y=& z(x+y) \end{align}

Agradecería ayuda en las siguientes preguntas:

1. ¿A qué clase de ecuaciones pertenece?
2. ¿La solución es única (excepto la solución trivial (0,0,0))?
3. ¿Cómo puedo resolverlo en teoría o aproximar la solución de manera efectiva?
4. ¿Se pueden generalizar los puntos 1-3 a n en lugar de 3 dimensiones?

Edit:

He transformado el sistema en una ecuación matricial: Sea \begin{equation} A= \begin{pmatrix} 0 & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & 0 & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & 0 \end{pmatrix}, \end{equation>

\begin{equation> B= \begin{pmatrix> 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matri \end{equation> y $\pi=(x,y,z)$. Entonces el sistema es simplemente \begin{equation> \langle\pi,\pi B\rangle=\pi A \end{equation>, donde $\langle.,.\rangle$ es la multiplicación elemento a elemento de dos vectores. Encontré que con un vector inicial arbitrario $\pi_0$, la siguiente secuencia debería converger a la solución única $\pi$: \begin{equation> \pi_{i+1}:=\frac{\pi_{i}A}{\pi_{i}B} , donde la fracción es nuevamente elemento a elemento.

¿Alguien puede ayudarme a demostrar esto? Puedo imaginar una conexión con la distribución estacionaria de Cadenas de Markov irreducibles, pero no estoy seguro.

También agradecería referencias a literatura u otros posts. ¡Gracias!

Answer 1

¡Esta es una buena pregunta!

Si transformas la matriz a una forma de producto interno, esta pregunta parece mucho más fácil:

\begin{equation} \langle\pi,\pi B\rangle=\pi A \end{equation}

¡Solo necesitas calcular esta ecuación de inmediato!

Si esta matriz es simétrica, entonces $xyz=a_{1}a_{2}a_{3}$

En el caso general, parece que:

$xyz=a_{2,1}a_{1,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}$