Deja que $\xi_n \sim N(0,1)$ y $A_n = \frac{\sqrt 2}{\pi n} \xi _n$.
Demuestra que $\sum_{i=1}^\infty |A_i| = \infty$ con probabilidad 1.
Mi INTENTO:
Normalmente, al intentar demostrar o refutar la convergencia o divergencia casi segura de una secuencia, el lema de Borel-Cantelli puede ser útil (sin embargo, este enfoque puede estar completamente fuera de lugar).
Quiero probar:
$$\forall N \in \mathbb N \quad \exists m \in \mathbb N \quad \forall k \geq m \quad \sum _{i=1}^k |A_i| > N \quad \mathbb P -\text{c.s.}$$
$$ \begin{align*} \Leftrightarrow &\quad \mathbb P \left(\bigcap_{N\in \mathbb N}\bigcup _{m \in \mathbb N} \bigcap _{k \geq m} \left\{\sum_{i=1}^k|A_i| > N\right\}\right) = 1\\ \Leftrightarrow &\quad \mathbb P \left(\bigcup_{N\in \mathbb N}\bigcap _{m \in \mathbb N} \bigcup _{k \geq m} \left\{\sum_{i=1}^k|A_i| \leq N \right\}\right) = 0\\ \Leftrightarrow &\quad \mathbb P \left(\bigcup_{N\in \mathbb N} \limsup_{m \rightarrow \infty} B_{m, N}\right) = 0 \end{align*} $$
$$ \text{con} \quad B_{k, N} := \left\{\sum_{i=1}^k|A_i| \leq N \right\}. $$
Ahora, si pudiéramos demostrar
$$ \forall N \in \mathbb N \quad \sum _{m=1} ^ \infty \mathbb P \left( B_{m, N}\right) = \sum _{m=1} ^ \infty \mathbb P \left( \sum_{i=1}^m|A_i| \leq N \right)< \infty $$
entonces, con la subaditividad de $\mathbb P$ y el lema de Borel-Cantelli obtendríamos
$$\mathbb P \left(\bigcup_{N\in \mathbb N} \limsup_{m \rightarrow \infty} B_{m, N}\right) \leq \sum_{N=1}^\infty \mathbb P \left(\limsup_{m \rightarrow \infty} B_{m, N}\right) = 0.$$
Sé que $\sum_{i=1}^\infty |A_i|$ es la suma de variables aleatorias con distribución normal plegada. Sin embargo, no encuentro una forma de controlar la cantidad $$\sum _{m=1} ^ \infty \mathbb P \left( \sum_{i=1}^m|A_i| \leq N \right).$$
Se presentó un enfoque bastante creativo en esta respuesta, sin embargo, en mi caso los sumandos no son normales estándar (sino escalados con $\frac {\sqrt 2 }{\pi n}$), por lo que no puedo usar la simetría de la normal multivariante como se sugiere.
¡Gracias de antemano!
