Verificando si una matriz real no simétrica tiene al menos un valor propio con parte real positiva

Question

$A \in \mathbb{R}^{d \times d}$ es una matriz cuadrada real no simétrica y sabemos que existe un vector real $x \in \mathbb{R}^d$ tal que $x^T A x > 0$. ¿Podemos concluir que $A$ tiene al menos un eigenvalor con parte real positiva? Si no es así, ¿cuál es una condición suficiente para mostrar que $A$ tiene al menos un eigenvalor con parte real positiva?

Un caso sencillo $d=2$ es $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ y $x = [1, 0]^T$, donde los dos eigenvalores de $A$ son 2 y 1.

Answer 1

Si una entrada fuera de la diagonal de la matriz es positiva y dominante, podemos lograr $x^TAx>0$ para $x=(1,1,\ldots,1)^T$ sin importar cuáles sean los valores propios.

Sea $$A = \begin{bmatrix} -2 & 10 \\ 0 &- 1 \end{bmatrix}$$ Para $x=(1,1)^T$ tenemos $$x^TAx=-2+10-1=7$$ Los valores propios son negativos y la matriz no es simétrica.

Si reemplazamos la suposición por $x^TAx>0$ para cada vector distinto de cero $x$ entonces la conclusión se mantiene. De hecho, para cada vector $e_k$ de la base estándar tenemos $$a_{kk}=e_k^TAe_k>0$$ Por lo tanto ${\rm Tr}A>0.$ por otro lado, la traza es igual a la suma de todos los valores propios. Por lo tanto, al menos un valor propio tiene parte real positiva.

Answer 2

Cualquier matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. Para la forma cuadrática, un término desaparecerá, dando como resultado una matriz simétrica; por lo tanto, si la matriz no es simétrica, es seguro asumir así.

Sea $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $A=A^T$. Cualquier matriz simétrica es diagonalizable ortogonalmente y sus autovalores son reales. Sea $x\in\mathbb{R}^n$, la forma cuadrática $f(x) = x^TAx$ es definida positiva si y solo si $f(x)>0$ para todo $x\neq 0$. Sabemos que $A=PDP^T$ donde $D$ es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los autovalores de A. Sea $y\in\mathbb{R}^n$ y $x=Py$ donde $P$ es una matriz invertible cuyas columnas son los autovectores de $A$; por lo tanto, obtenemos $$\begin{align} f(y) = x^TAx &= (Py)^TA(Py) \\ &= y^TP^TAPy \\ &= y^T Dy \\ &= y^T \begin{bmatrix} \lambda_1& & \\& \ddots& \\ &&\lambda_n\end{bmatrix}y \\ &= \lambda_1y^2_1+\lambda_2y^2_2+\cdots+\lambda_ny^2_n. \end{align}$$

La función $f(y)>0$ para todo $y\neq 0$ está completamente determinada por los signos de los autovalores.