$\epsilon>0$ existe un polinomio $p$ tal que $|f(x)-e^{-x}p|<\epsilon\forall x\in[0,\infty)$

Question

¿Alguien podría decirme cómo resolver esto?

Dado $f\in C[0,\infty)$ tal que $f(x)\to 0$ como $x\to\infty$ tenemos que demostrar que para cualquier $\epsilon>0$ existe un polinomio $p$ tal que $|f(x)-e^{-x}p(x)|<\epsilon \qquad \forall~ x\in[0,\infty)$

Sólo conozco el enunciado del Teorema de Aproximación Polinómica de Weierstrass y parece muy alejado del problema dado, pero de alguna manera siento que necesito aplicar el teorema.

Answer 1

No es una "solución" (¿prueba?) pero me gustaría dar algunos detalles a tu pregunta.

$$ \vert f(x)-e^{-x}p(x)\vert=e^{-x}\vert g(x)-p(x)\vert, $$ donde $\lim_{x\to\infty}e^{-x}g(x)=0$ . Su pregunta es sobre la densidad de los polinomios en el espacio ponderado (la función de peso es $e^{-x}$ ) en la línea media. Más información Teorema de Stone-Weierstrass (versión localmente compacta) . La literatura de aproximación ponderada en $L_p$ espacios es enorme.