¿Implica $a^3 = b^2$ que $a$ es un cuadrado perfecto?

Question

Supongamos que tengo $a, b \in \mathbb Z^+$ tales que $a^3 = b^2$. ¿Cómo se puede inferir que $a$ es un cuadrado perfecto, es decir, $\exists e \in \mathbb Z^+$ tal que $a = e^2$? Sé que debo usar la factorización prima en algún punto de mi argumento, pero estoy atascado.

Answer 1

Pista. Entonces, comience escribiendo la descomposición en factores primos de $a$ y $b$, digamos $$ a = \prod_p p^{\nu_p(a)}, \quad b = \prod_p p^{\nu_p(b)} $$ Ahora $a^3 = b^2$ se lee $$ \prod_p p^{3\nu_p(a)} = \prod_p p^{2\nu_p(b)} $$ La unicidad te da $$ \forall p: 3\nu_p(a) = 2\nu_p(b) $$ ¿Qué te dice esto sobre la paridad de $\nu_p(a)$?

Answer 2

La factorización primaria de $a=p_1^{n_1}p_2^{n_2}......p_n^{n_n}$

$\implies a^3=p_1^{3n_1}p_2^{3n_2}......p_n^{3n_n}$

Dado que, $a^3=b^2 \implies a$ y $b$ tendrán los mismos primos

$\implies b =p_1^{m_1}p_2^{m_2}......p_n^{m_n}$

$\implies b^2 =p_1^{2m_1}p_2^{2m_2}......p_n^{2m_n}$

Ya que, $a^3 =b^2 \implies p_i^{3n_i}= p_i^{2m_i} $, para $i \in \{1,2,....,n\}$

$\implies 3n_i=2m_i \implies n_i=2t_i$

$\implies a=p_1^{2t_1}p_2^{2t_2}......p_n^{2t_m}$

Por lo tanto, $a$ es un cuadrado perfecto

Answer 3

Al dividir ambos lados por $a^2$, obtienes $$a=\frac{b^2}{a^2}=\left (\frac ba \right)^2$$ se dice que es un número entero, es racional, solo puede ser entero si $a$ divide a $b$. Pero si $a$ divide a $b$, entonces también lo hacen todas las potencias primas que dividen a $a$. Además, esto significa que $b=ac$. Reescribiendo la ecuación obtenemos: $$a^3=a^2c^2$$ o $$a=c^2$$