Propiedad de continuación única de la ecuación $-\Delta u=|u|^{p-1}u$ con $p>2"

Question

Suponga que $ \{u_i\}_{i=1}^{2} $ satisface $ -\Delta u_i=|u_i|^{p-1}u_i $ en $ B_1 $ con $ p>2 $ y $ u_1=u_2 $ en un conjunto abierto $ A\subset B_1 $. Quiero preguntar si $ u_1=u_2 $ en $ B_1 $.

Dado que ya sabemos que la función armónica tiene la propiedad de continuidad única, supongo que este resultado sigue siendo cierto para el caso semilineal aquí. Sin embargo, no sé cómo continuar. ¿Puedes darme algunas pistas o referencias?

Answer 1

Tus funciones $u_j$ son soluciones de una ecuación elíptica semilineal y, para $p>2$ la función $t\mapsto\vert t\vert^{p-1}t=\phi(t)$ es $C^2$; como consecuencia, cada $u_j$ es $C^\alpha$ con algún $\alpha$ positivo. También tenemos con $w=u_2-u_1$ $$ w= \phi(u_1)-\phi(u_1+w) $$ por lo que, ya que $u_1, w$ son continuas y $ \phi'$ es localmente acotada $$ \vert w\vert\le C\vert w\vert, \quad\text{$w=0$ en $A$.} $$ Este es un caso estándar de continuidad única desde un subconjunto abierto. Sería suficiente asumir que $u_2-u_1$ tiene un punto plano dentro de $ B_1$ , es decir, es tal que $$ \int_{B(x_0,r)}\vert w(x)\vert dx =O(r^N)\text{ para cualquier $N$, cuando $r$ tiende a 0}. $$