Buscando una prueba combinatoria $\binom{n}{2k-1}=\binom{n+2}{2k+1}-2\times\binom{n+1}{2k+1}+\binom{n}{2k+1}$

Question

Agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema

P: Buscando una prueba combinatoria de que para todo $n,k\in \mathbb{N}$, se cumple lo siguiente

$$\binom{n}{2k-1}=\binom{n+2}{2k+1}-2\times\binom{n+1}{2k+1}+\binom{n}{2k+1}$$

Answer 1

El LHS es $\binom{n}{2k-1}\binom{2}{2}$, que es el número de subconjuntos de $(2k+1)$ elementos de $\{1,\dots,n+2\}$ que contienen tanto $n+1$ como $n+2$. El RHS es una fórmula de inclusión-exclusión para los mismos objetos. Las dos propiedades que se deben evitar son que $n+1$ no aparezca y que $n+2$ no aparezca, dando como resultado $$\binom{2}{0}\binom{n+2}{2k+1}-\binom{2}{1}\binom{n+1}{2k+1}+\binom{2}{2}\binom{n}{2k+1}$$