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Dibuja |z|\geq \text{Re}(z)+1.

Quiero esbozar el conjunto |z|\geq \text{Re}(z)+1 y determinar si es abierto, cerrado o ni uno ni otro, y si está acotado y conectado.

Sea z=x+iy, entonces tenemos que la desigualdad es equivalente a

\sqrt{x^2+y^2}\geq x+1,

entonces

y\geq \sqrt{2x+1}.

Entonces esta es la región cerrada y no acotada por encima de la gráfica de \sqrt{2x+1}. No entiendo cómo determinar la conexión.

¿Es correcta mi respuesta hasta ahora?

3voto

egreg Puntos 64348

Ten mucho cuidado al cuadrar: la desigualdad 1\ge -2 es verdadera, pero 1^2\ge(-2)^2 es falsa.

La desigualdad A\ge B es equivalente a A^2\ge B^2 siempre que A\ge0 y B\ge0.

Si \operatorname{Re}z<-1, entonces la desigualdad |z|\ge\operatorname{Re}z+1 es seguramente verdadera. Por lo tanto, todos los números complejos x+yi con x<-1 pertenecen al conjunto.

Si x\ge-1, entonces realmente puedes cuadrar y la desigualdad se convierte en x^2+y^2\ge x^2+2x+1 es decir, y^2\ge 2x+1 El lugar geométrico y^2=2x+1 es una parábola, que divide el plano en tres subconjuntos:

  1. la parábola
  2. los puntos interiores (aquellos desde los que no puedes trazar tangentes a la parábola)
  3. los puntos exteriores

Para todos los puntos interiores, se cumple que bien y^2>2x+1 o y^2<2x+1. Considera el segmento que une dos puntos interiores; si en uno se cumple la primera desigualdad y en el otro la segunda, entonces el segmento que los une tiene que intersectar la parábola. Dado que (0,0) es un punto interior y 0<2\cdot0+1, concluimos que los puntos interiores no pertenecen al conjunto dado.

De manera similar, todos los puntos exteriores satisfacen y^2>2x+1.

Por otro lado, todos los puntos con x<-1 son puntos exteriores, ya que el vértice tiene coordenadas (-1/2,0), por lo que el conjunto es realmente el conjunto de puntos exteriores a la parábola y^2=2x+1 y los puntos de la parábola.

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1voto

aprado Puntos 1

Bueno, si x\geq -1 entonces obtenemos y^2\geq 2x+1. Dado que y^2 = 2x+1 es una parábola, determina dos componentes conectadas y y^2\geq 2x+1 es una de ellas y es cerrada. Nombramos esta componente como A.

Pero si x<-1 no se puede hacer al cuadrado. Sin embargo, en este caso cualquier punto P(x,y) si x<-1 es una solución y determinan un semiplano abierto B (a la izquierda de la línea x=-1). Pero este plano B es un subconjunto de A, por lo que su unión vuelve a ser A.

Entonces esta región es cerrada y tiene una componente.

0voto

Stephen Puntos 6

introducir descripción de la imagen aquí

región sombreada. Antes de elevar al cuadrado, necesitamos establecer condiciones para que el lado derecho de la desigualdad sea positivo o negativo.

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