Dibuja $|z|\geq \text{Re}(z)+1$.

Question

Quiero esbozar el conjunto $|z|\geq \text{Re}(z)+1$ y determinar si es abierto, cerrado o ni uno ni otro, y si está acotado y conectado.

Sea $z=x+iy,$ entonces tenemos que la desigualdad es equivalente a

$$\sqrt{x^2+y^2}\geq x+1,$$

entonces

$$y\geq \sqrt{2x+1}.$$

Entonces esta es la región cerrada y no acotada por encima de la gráfica de $\sqrt{2x+1}.$ No entiendo cómo determinar la conexión.

¿Es correcta mi respuesta hasta ahora?

Answer 1

Ten mucho cuidado al cuadrar: la desigualdad $1\ge -2$ es verdadera, pero $1^2\ge(-2)^2$ es falsa.

La desigualdad $A\ge B$ es equivalente a $A^2\ge B^2$ siempre que $A\ge0$ y $B\ge0$.

Si $\operatorname{Re}z<-1$, entonces la desigualdad $|z|\ge\operatorname{Re}z+1$ es seguramente verdadera. Por lo tanto, todos los números complejos $x+yi$ con $x<-1$ pertenecen al conjunto.

Si $x\ge-1$, entonces realmente puedes cuadrar y la desigualdad se convierte en $$x^2+y^2\ge x^2+2x+1$$ es decir, $$y^2\ge 2x+1$$ El lugar geométrico $y^2=2x+1$ es una parábola, que divide el plano en tres subconjuntos:

1. la parábola
2. los puntos interiores (aquellos desde los que no puedes trazar tangentes a la parábola)
3. los puntos exteriores

Para todos los puntos interiores, se cumple que bien $y^2>2x+1$ o $y^2<2x+1$. Considera el segmento que une dos puntos interiores; si en uno se cumple la primera desigualdad y en el otro la segunda, entonces el segmento que los une tiene que intersectar la parábola. Dado que $(0,0)$ es un punto interior y $0<2\cdot0+1$, concluimos que los puntos interiores no pertenecen al conjunto dado.

De manera similar, todos los puntos exteriores satisfacen $y^2>2x+1$.

Por otro lado, todos los puntos con $x<-1$ son puntos exteriores, ya que el vértice tiene coordenadas $(-1/2,0)$, por lo que el conjunto es realmente el conjunto de puntos exteriores a la parábola $y^2=2x+1$ y los puntos de la parábola.

Answer 2

Bueno, si $x\geq -1$ entonces obtenemos $y^2\geq 2x+1$. Dado que $y^2 = 2x+1$ es una parábola, determina dos componentes conectadas y $y^2\geq 2x+1$ es una de ellas y es cerrada. Nombramos esta componente como $A$.

Pero si $x<-1$ no se puede hacer al cuadrado. Sin embargo, en este caso cualquier punto $P(x,y)$ si $x<-1$ es una solución y determinan un semiplano abierto $B$ (a la izquierda de la línea $x=-1$). Pero este plano $B$ es un subconjunto de $A$, por lo que su unión vuelve a ser $A$.

Entonces esta región es cerrada y tiene una componente.

Answer 3

región sombreada. Antes de elevar al cuadrado, necesitamos establecer condiciones para que el lado derecho de la desigualdad sea positivo o negativo.