Ten mucho cuidado al cuadrar: la desigualdad 1\ge -2 es verdadera, pero 1^2\ge(-2)^2 es falsa.
La desigualdad A\ge B es equivalente a A^2\ge B^2 siempre que A\ge0 y B\ge0.
Si \operatorname{Re}z<-1, entonces la desigualdad |z|\ge\operatorname{Re}z+1 es seguramente verdadera. Por lo tanto, todos los números complejos x+yi con x<-1 pertenecen al conjunto.
Si x\ge-1, entonces realmente puedes cuadrar y la desigualdad se convierte en x^2+y^2\ge x^2+2x+1 es decir, y^2\ge 2x+1 El lugar geométrico y^2=2x+1 es una parábola, que divide el plano en tres subconjuntos:
- la parábola
- los puntos interiores (aquellos desde los que no puedes trazar tangentes a la parábola)
- los puntos exteriores
Para todos los puntos interiores, se cumple que bien y^2>2x+1 o y^2<2x+1. Considera el segmento que une dos puntos interiores; si en uno se cumple la primera desigualdad y en el otro la segunda, entonces el segmento que los une tiene que intersectar la parábola. Dado que (0,0) es un punto interior y 0<2\cdot0+1, concluimos que los puntos interiores no pertenecen al conjunto dado.
De manera similar, todos los puntos exteriores satisfacen y^2>2x+1.
Por otro lado, todos los puntos con x<-1 son puntos exteriores, ya que el vértice tiene coordenadas (-1/2,0), por lo que el conjunto es realmente el conjunto de puntos exteriores a la parábola y^2=2x+1 y los puntos de la parábola.
![introducir descripción de la imagen aquí]()