Ten mucho cuidado al cuadrar: la desigualdad 1≥−2 es verdadera, pero 12≥(−2)2 es falsa.
La desigualdad A≥B es equivalente a A2≥B2 siempre que A≥0 y B≥0.
Si Rez<−1, entonces la desigualdad |z|≥Rez+1 es seguramente verdadera. Por lo tanto, todos los números complejos x+yi con x<−1 pertenecen al conjunto.
Si x≥−1, entonces realmente puedes cuadrar y la desigualdad se convierte en x2+y2≥x2+2x+1 es decir, y2≥2x+1 El lugar geométrico y2=2x+1 es una parábola, que divide el plano en tres subconjuntos:
- la parábola
- los puntos interiores (aquellos desde los que no puedes trazar tangentes a la parábola)
- los puntos exteriores
Para todos los puntos interiores, se cumple que bien y2>2x+1 o y2<2x+1. Considera el segmento que une dos puntos interiores; si en uno se cumple la primera desigualdad y en el otro la segunda, entonces el segmento que los une tiene que intersectar la parábola. Dado que (0,0) es un punto interior y 0<2⋅0+1, concluimos que los puntos interiores no pertenecen al conjunto dado.
De manera similar, todos los puntos exteriores satisfacen y2>2x+1.
Por otro lado, todos los puntos con x<−1 son puntos exteriores, ya que el vértice tiene coordenadas (−1/2,0), por lo que el conjunto es realmente el conjunto de puntos exteriores a la parábola y2=2x+1 y los puntos de la parábola.
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