¿Cómo se deriva la ecuación de Gibbs-Helmholtz?

Question

¿Alguien puede por favor explicarme cómo derivar la relación de Gibbs-Helmholtz a partir de $G = H - TS$?

Answer 1

Necesitas saber que

$$\require{begingroup} \begingroup \newcommand{\d}[0]{\mathrm{d}} \d G = V\,\d p - S\,\d T$$

de lo cual se puede determinar que

$$\newcommand{\pdiff}[3]{\left(\frac{\partial #1}{\partial #2}\right)_{\!#3}} \pdiff{G}{p}{T} = V \qquad \pdiff{G}{T}{p} = -S$$

Por lo tanto (por la regla del cociente)

$$\begin{align}\pdiff{}{T}{p}\left(\frac{G}{T}\right) &= \frac{T(\partial G/\partial T)_p - G(\partial T/\partial T)_p} {T^2} \\[8pt] &= \frac{T(-S) - G(1)}{T^2} \\[8pt] &= \frac{-TS-G}{T^2} \\[8pt] &= -\frac{H}{T^2} \end{align}$$

como se desea (ya que $G = H - TS$).

Answer 2

$$dG=dH-TdS-SdT=dU+VdP+PdV-TdS-SdT$$ Pero, $$dU=TdS-PdV$$ Sumando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos $$dG=VdP-SdT$$ A presión constante, tenemos $$dG=-SdT$$Pero, a partir de la definición de G, $$-S=\frac{G-H}{T}$$Sustituyendo a -S obtenemos: $$\frac{dG}{dT}=\frac{G-H}{T}\tag{constante P}$$ El resto es matemática sencilla.