Estoy intentando averiguar cuáles son las tres posibilidades de $z$ son tales que
$$ z^3=i $$
pero no sé cómo proceder. Lo he intentado algebraicamente pero me he topado con polinomios bastante tediosos. ¿Podría resolverlo geométricamente? Cualquier ayuda será muy apreciada.
Utilizando la fórmula de Euler, que dice $$ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$ veremos que $$ i = 0 + i \cdot 1 = \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2n \pi \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2n \pi \right) = e^{i \left(\frac{ \pi}{2} + 2n \pi \right)} $$ para todos los números enteros $n$ . Así, si $z^3 = i$ entonces $$z = \exp\left[ i \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2n\pi}{3}\right)\right]$$ para todos los números enteros $n$ .
Creo que tu planteamiento "polinómico" también habría funcionado, si es lo que querías decir :
[Suponemos que no conociéramos la "identidad de Euler", el teorema de DeMoivre o las raíces de la unidad, que son herramientas muy eficaces].
Si suponemos (probablemente con seguridad) que la(s) solución(es) son números complejos, y llamamos a $ \ z \ = \ a + bi \ , $ con $ \ a \ $ y $ \ b \ $ real, podemos escribir la ecuación como
$$ (a + bi)^3 \ = \ a^3 \ + \ 3a^2 b \cdot i \ + \ 3a b^2 \cdot i^2 \ + \ b^3 i^3 \ = \ (a^3 \ - \ 3ab^2) \ + \ (3a^2b \ - \ b^3) \cdot i \ \ = \ \ i \ , $$
aplicando el teorema del binomio y "potencias de $ \ i \ $ ". Dado que el lado derecho de la ecuación es un número puramente imaginario, esto requiere que
$$ a^3 \ - \ 3ab^2 \ = \ a \ ( a^2 \ - \ 3b^2 ) \ = \ 0 \ \ \text{and} \ \ 3a^2b \ - \ b^3 \ = \ b \ (3a^2 \ - \ b^2) \ = \ 1 \ \ . $$
La primera ecuación nos presenta dos casos:
I -- $ \ a \ = \ 0 \ $ :
$$ a \ = \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ b \ ( \ 0 \ - \ b^2 ) \ = \ -b^3 \ = \ 1 \ \ \Rightarrow \ \ b \ = \ -1 \ \ \Rightarrow \ \ z \ = \ 0 - i \ \ ; $$
II -- $ \ a^2 \ - \ 3b^2 \ = \ 0 $ :
$$ a^2 \ = \ 3b^2 \ \ \Rightarrow \ \ b \ ( \ 3 \cdot [3b^2] \ - \ b^2 \ ) \ = \ 8b^3 \ = \ 1 \ \ \Rightarrow \ \ b \ = \ \frac{1}{2} $$
$$ \Rightarrow \ \ a^2 \ = \ 3 \ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \ = \ \frac{3}{4} \ \ \Rightarrow \ \ a \ = \ \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \ \ \Rightarrow \ \ z \ = \ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \ , \ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \ \ . $$
Hemos encontrado tres soluciones de números complejos a la ecuación. Como Dan dice, (una forma de) el Teorema Fundamental del Álgebra afirma que este polinomio de tercer grado con coeficientes complejos tiene, en total, tres raíces (contando las multiplicidades, que aquí son cada una 1).
Probablemente no querríamos utilizar este método para grados superiores a éste, ya que el álgebra se volvería más difícil de resolver. Las técnicas descritas por otros autores son de uso mucho más generalizado.
Puedes resolverlo geométricamente si sabes coordenadas polares .
En coordenadas polares, la multiplicación es $(r_1, \theta_1) \cdot (r_2, \theta_2) = (r_1 \cdot r_2, \theta_1 + \theta_2)$ Así que al cubo $(r, \theta)^3 = (r^3, 3\theta)$ . Las raíces cúbicas de $(r, \theta)$ son $\left(\sqrt[3]{r}, \frac{\theta}{3}\right)$ , $\left(\sqrt[3]{r}, \frac{\theta+2\pi}{3}\right)$ y $\left(\sqrt[3]{r}, \frac{\theta+4\pi}{3}\right)$ (recuérdese que la adición de $2\pi$ al argumento no cambia el número). En otras palabras, para hallar las raíces cúbicas de un número complejo, se toma la raíz cúbica del valor absoluto (el radio) y se divide el argumento (el ángulo) por 3.
$i$ forma un ángulo recto con $1$ : $i = \left(1, \frac{\pi}{2}\right)$ . Gráficamente:
Una raíz cúbica de $i$ es $A = \left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ . Los otros dos son $B = \left(1, \frac{5\pi}{6}\right)$ y $\left(1, \frac{9\pi}{6}\right) = -i$ .
Recordando la trigonometría básica, las coordenadas rectangulares de $A$ son $\left(\cos\frac{\pi}{6}, \sin\frac{\pi}{6}\right)$ (el triángulo OMA es rectángulo en M). Por lo tanto, $A = \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ .
Si no recuerda los valores de $\cos\frac{\pi}{6}$ y $\sin\frac{\pi}{6}$ puedes encontrarlos utilizando la geometría. El triángulo $OAi$ tiene dos lados iguales $OA$ y $Oi$ por lo que es isoceles: los ángulos $OiA$ y $OAi$ son iguales. La suma de los ángulos del triángulo es $\pi$ y sabemos que el tercer ángulo $iOA$ es $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ Por lo tanto $OiA = OAi = \dfrac{\pi - \frac{pi}{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}$ . Así que $OAi$ es un triángulo equilátero, y la altitud AN también es una mediana, por lo que N es el punto medio de $[Oi]$ : $\sin\frac{\pi}{6} = AM = ON = \frac{1}{2}$ . Por el teorema de Pitágoras, $OM^2 + AM^2 = OA^2 = 1$ así que $\cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
La respuesta de @Petaro es la mejor, porque sugiere cómo tratar estas cuestiones en general, pero aquí hay otro enfoque de la específico cuestión de cuáles son las raíces cúbicas de $i$ son.
Sabes que $(-i)^3=i$ y tal vez sepas que $\omega=(-1+i\sqrt3)/2$ es una raíz cúbica de $1$ . Por tanto, las raíces cúbicas de $i$ son los números $-i\omega^n$ , $n=0,1,2$ .
Tomando el valor absoluto de ambos lados: $|z^3| = |i|$ da $|z| = 1$ . Así que.., $z = \cos (\theta) + i \sin (\theta)$ de verdad $\theta$ .
Utilizando la fórmula de De Moivre se obtiene $z^3 = \cos(3\theta) + i \sin(3\theta)$ . Dado que $z^3 = i = 0 + 1i$ Esto significa que $\cos(3\theta) = 0$ y $\sin(3\theta) = 1$ . Resolviendo este sistema se obtiene $3\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ o $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2 \pi n}{3}$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ .
Introduciendo algunos valores para $n$ da:
Y podemos detenernos aquí porque se trata de una ecuación polinómica de grado 3, y el Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que tiene a lo sumo 3 raíces distintas. El conjunto solución es pues $z \in \{ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, \frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, -i \}$ .
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