La derivada parcial es el vector tangente de una variedad

Question

Sé que esto se ha discutido mucho pero no pude encontrar algo que realmente me ayude. Soy nuevo en geometría diferencial y trato de entender lo siguiente.

Definición: Sea $M$ una variedad suave con carta $(U,x)$ alrededor de $p$ \begin{align} \left.\dfrac{\partial}{\partial x^i}\right|_p :C^\infty_p(M,\mathbb{R}) \ni f \rightarrow \left.\dfrac{\partial(f\circ x^{-1})}{\partial x^i}\right|_{x(p)}\in\mathbb{R} \end{align} son vectores tangentes reales para $i=1,\ldots,\text{dim}(M)$

Primero que nada: ¿Por qué definimos la derivada parcial evaluada en $p$ de esta manera extraña? ¿Cómo se puede comprobar si esto realmente cumple con la regla de Leibnitz? En el texto que encontré simplemente dice que esto es fácil de ver. Perdón por esta pregunta de principiante, pero no tengo mucha experiencia como podrás ver.

Answer 1

La derivada parcial se define de esa manera porque es más fácil. Para ver esto, imagina si fueras el primero en definir la diferenciación parcial en una variedad. Sabes mucho sobre derivadas parciales en ${R}^n$ y estás acostumbrado a ello. También tienes un mapa de tu variedad a ${R}^n$ gracias a cartas (es decir, tus coordenadas). Dado que ya tienes una conexión con tu variedad y ${R}^n$, te das cuenta de que simplemente puedes tomar la derivada de tu función en ${R}^n$ usando tu carta. La fórmula básicamente dice que, si quieres tomar la derivada de una función en una variedad, simplemente evalúala en ${R}^n$ usando tus coordenadas y toma la derivada de esa función donde ya sabes mucho sobre diferenciación. ¡Esta definición elimina la necesidad de crear una nueva noción de derivada y usar tus resultados anteriores para espacios planos!

Visto de esta manera, es evidente por qué satisface la regla de Leibniz. Sabes que se cumple en ${R}^n$ y dado que tomas la derivada en ${R}^n$ (específicamente en tu carta) y no en tu variedad, ¡puedes reutilizar tus resultados para ${R}^n$!

Answer 2

Sin importar cómo definas lo que es un vector tangente abstracto, siempre puedes hacer lo siguiente: Dado un vector tangente $v$ en un punto $p$ (es decir, $p\in T_pM$), existe una curva $c(t)$ tal que $c(0)=p$ y $c’(0)=v$. La derivada direccional de una función $f$ en $p$ en la dirección $v$ se define como $$D_vf(p)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(c(t)).$$ Se puede demostrar que el valor de esto permanece el mismo, sin importar qué curva se utilice, siempre y cuando la velocidad de la curva en $p$ sea $v$. Además, es fácil verificar que $D_v$ sigue la regla de Leibniz (es decir, es una derivación).

Ahora supongamos que hay un sistema de coordenadas $$\Phi: U \rightarrow M$$ tal que $\Phi(0)=p$. Entonces, para la coordenada $i$ hay una curva $$c_i(t)=\Phi(0,\dots,t,\dots,0),$$ donde todas las coordenadas se mantienen constantes igual a $0$ excepto la $i$-ésima que se establece en $t$. Por lo general, se denota el vector de velocidad de $c_i$ en $p$ como $$\partial_i = c_i’(0)\in T_pM.$$ La derivada parcial de $f$ en $p$ se denota y define como $$\partial_if(p) = D_{\partial_i}f = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(c_i(t)) = \partial_i(f\circ\Phi)(0).$$ Nótese que en esta fórmula, $\partial_i$ tiene, estrictamente hablando, dos definiciones diferentes pero estrechamente relacionadas.

Answer 3

¿Por qué definimos la derivada parcial evaluada en $p$ de esta manera extraña?

Sea $V\subseteq\mathbb R^n$ un conjunto abierto y $f:V\rightarrow \mathbb R$ una función de valor real en $V$. Entonces para cada $i=1,2,\dots,n$ la derivada parcial (si existe) se define como $$ (D_if)(r^1,\dots,r^n):=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(r^1,\dots,r^i+h,\dots,r^n)-f(r^1,\dots,r^i,\dots,r^n)}{h}. $$En particular, esto esencialmente requiere que la función esté definida en algún conjunto abierto de $\mathbb R^n$.

Sea $f\in C^\infty_p(M)$ una función suave germinal cerca de $p\in M$ de la variedad de $n$ dimensiones $M$. Esto quiere decir que $f$ está representado por una función suave definida cerca de $p$ y dos funciones suaves definidas cerca de $p$ representan el mismo germen $f$ si y solo si coinciden en algún vecindario de $p$.

No podemos definir la derivada parcial de $f$ (o cualquier representante) directamente, porque $M$ no es un conjunto abierto de $\mathbb R^n$. Sin embargo, supongamos que $(U,x)$ es un sistema de coordenadas local cerca de $p$. Entonces $x:U\rightarrow V\subseteq\mathbb R^n$ es un homeomorfismo entre $U\subseteq M$ y $V\subseteq \mathbb R^n$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el germen $f$ tiene un representante definido en $U$ y también escribimos $f$ para este representante. Entonces la función $$ \hat f:=f\circ x^{-1} $$ es una función suave definida en $V\subseteq\mathbb R^n$, que es un conjunto abierto de $\mathbb R^n$. Explícitamente, tenemos $$ \hat f(x^1(p),\dots,x^n(p))=f(p) $$ para cada $p\in U$. Ahora podemos tomar las derivadas parciales de esta función, por lo que definimos $$ \frac{\partial f}{\partial x^i}(p):=(D_i\hat f)(x(p)). $$ Esto es necesario porque no podemos tomar derivadas parciales en $M$ directamente ya que $f$ no es una función multivariable. Pero los mapas de coordenadas se pueden utilizar para representar $f$ como la función multivariable $\hat f$, que luego es parcialmente diferenciable. De ahí el procedimiento "extraño".

¿Cómo se puede verificar si esto realmente cumple la regla de Leibnitz?

Usando la notación anterior, tenemos para cualquier par de gérmenes $f,g\in C^\infty_p(M)$ (identificados con sus representantes definidos en el dominio de coordenadas $U\subseteq M$) $$ \frac{\partial(fg)}{\partial x^i}(p)=D_i(\widehat{fg})(x(p)) \overset{(1)}{=} D_i(\hat f\hat g)(x(p)) \overset{(2)}{=} (D_i\hat f)(x(p))\hat g(x(p))+\hat f(x(p))(D_i\hat g)(x(p)) \\ =\frac{\partial f}{\partial x^i}(p)g(p)+f(p)\frac{\partial g}{\partial x^i}(p), $$donde en (1) hemos utilizado $$ \widehat{fg}=(fg)\circ x^{-1}=(f\circ x^{-1})(g\circ x^{-1})=\hat f\hat g, $$es decir, que la composición se distribuye respecto a la multiplicación y en (2) hemos utilizado que la derivada parcial ordinaria $D_i$ en $\mathbb R^n$ sigue la regla de Leibniz.