Identificar el plano definido por $|z-2i| = 2|z+3|$

Question

Lo intenté:

$$|z-2i| = 2|z+3| \Leftrightarrow \\ |x+yi-2i|=2|x+yi+2|\Leftrightarrow \\ \sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{4((x+2)^2+y^2)} \Leftrightarrow \\ \sqrt{x^2+y^2-4y+4} = \sqrt{4x^2+24x+36+4y^2} \Leftrightarrow \\ x^2+y^2-4y+4 = 4x^2+24x+36+4y^2 \Leftrightarrow \\ y^2-4y-4y^2=4x^2+24x+36+x^2 \Leftrightarrow \\ -3y^2-4y=5x^2+24x+26 \Leftrightarrow \\ ???$$

¿Qué debo hacer a continuación?

Answer 1

Supongo que esto significa locus y no plano..

$$\begin{align*} |z-2i|&= 2|z+3|\\ |x+iy-2i|&= 2|x+iy+3| \\ |x+i(y-2)|&= 2|(x+3)+i(y)| \\ \sqrt{x^2+(y-2)^2}&=2\sqrt{(x+3)^2+y^2}\\ x^2+(y-2)^2&=4\left(x^2+6x+9+y^2\right)\\ x^2+y^2-4y+4&=4x^2+24x+36+4y^2 \\ 3x^2+24x+32+3y^2+4y&=0\\ x^2+8x+\frac{32}{3}+y^2+\frac{4}{3}y&=0 \\ x^2+8x+y^2+\frac{4}{3}y &= -\frac{32}{3}\\ x^2+8x+16 +y^2+\frac{4}{3}y +\frac{4}{9}&= -\frac{32}{3}+16+\frac{4}{9} \\ (x+4)^2+\left(y+\frac{2}{3}\right)^2&=\frac{52}{9} \end{align*}$$

Lo que significa que nuestro locus es un círculo con centro $\left(-4,\frac{-2}{3}\right)$ y radio $\frac{2\sqrt{13}}{3}$.

Answer 2

Puedes cuadrar sin agregar soluciones espurias, porque $|w|\ge0$ por definición. Así que $|z-2i|^2=4|z+3|^2$ y, usando $|w|^2=w\bar{w}$, $$(z-2i)(\bar{z}+2i)=4(z+3)(\bar{z}+3)$$ Esto simplifica a $$3z\bar{z}+12(z+\bar{z})-2i(z-\bar{z})+32=0$$ Ahora recuerda que, para $z=x+yi$, $z\bar{z}=x^2+y^2$, $z+\bar{z}=2x$ y $z-\bar{z}=2yi$, para obtener $$3(x^2+y^2)+24x+4y+32=0$$ que también se puede escribir como $$x^2+y^2+8x+\frac{4}{3}y+\frac{32}{3}=0$$ o, completando los cuadrados, $$(x+4)^2+\left(y+\frac{2}{3}\right)^{\!2}=\frac{52}{9}$$ que representa un círculo.

Tu cálculo también es bueno hasta $$x^2+y^2-4y+4 = 4x^2+24x+36+4y^2$$ Luego haces simplificaciones incorrectas: llevando todo al lado derecho obtienes $$3x^2+3y^2+24x+4y+32=0$$ exactamente lo mismo que obtuve.

Answer 3

Solución geométrica ingenua:

El lugar de los puntos cuyas distancias son una proporción fija (no igualdad) de dos puntos dados es un círculo. Llamemos a los puntos $A$ y $B$. El centro del círculo se encuentra en la línea (extendida) $AB$.

Si deseas que todos los puntos estén a una distancia el doble de $A$ que de $B$, entonces los dos puntos donde su circunferencia intersecta la línea $AB$ están a $\frac13$ del camino de $B$ hacia $A$, y a una distancia de $d(AB)$ al otro lado de $B (opuesto a$A$). El centro es el punto medio entre estos puntos, a una distancia de$\frac13 d(AB)$en el lado opuesto a$B$desde$A$. Eso hace que el radio del círculo sea$\frac{2}{3}d(AB)$.

En este caso, $A$ está en $2i$ y $B$ está en $-3$. Eso pone el centro en el punto $2i(1-t)-3t$ para $t=\frac{4}{3}$, y hace que el radio sea $\frac{2}{3}|2i+3|$. Es decir, el centro está en $-4-\frac23i$, y el radio es $\frac{2\sqrt{13}}{3}$