¿Cómo hacer esta derivada parcial?

Question

$$p\left(p+\frac{i}{m}\right)=P_o\left(P_o+\frac{i}{m})(1-\frac{x}{L}\right)$$

Para abreviar la notación, tomamos $$g \equiv \left(1-\frac{x}{L}\right)$$

y $$a \equiv \frac{i}{m}$$

Tomando la derivada parcial de la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:

$$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{g \sqrt{c+1}}{\sqrt{c+g}} \cdot P'_o(t)$$

donde

$$c=\frac{a^2}{4P_0(P_0+a)}$$

y $$P'_0(t)=\frac{\mathrm dP_0}{\mathrm dt}.$$

¿Cuáles son los pasos para esta diferenciación?

Answer 1

$$p^2 + a\,p - g\,P_0(P_0+a) = (p-p_1)(p-p_2) = p^2 - (p_1 + p_2)p + p_1p_2$$ Sigue que $$p_1 + p_2 = -a$$ $$p_1p_2 = -gP_0(P_0+a)$$ Resolviendo estas ecuaciones se obtiene $$p_{1,2} = \frac 12\Big(\pm\sqrt{a^2+4agP_0+4gP_0^2}-a\Big)$$ Suponiendo que $P_0(t)$ y usando $p=p_1$ $$dp = \frac 14\frac{4ag\,P_0'+8gP_0P_0'}{\sqrt{a^2+4gP_0(P_0+a)}}dt$$ $$\frac{dp}{dt} = g\frac{a+2P_0}{\sqrt{a^2+4gP_0(P_0+a)}}P_0'$$ $$\frac{dp}{dt} = g\frac{\sqrt{(a+2P_0)^2}}{\sqrt{a^2+4gP_0(P_0+a)}}P_0'$$ $$\frac{dp}{dt} = g\frac{\sqrt{a^2+4aP_0+4P_0^2}}{\sqrt{a^2+4gP_0(P_0+a)}}P_0'$$ $$\frac{dp}{dt} = g\frac{\sqrt{a^2+4P_0(P_0+a)}}{\sqrt{a^2+4gP_0(P_0+a)}}P_0'$$ $$\frac{dp}{dt} = g\frac{\sqrt{a^2/\big(4P_0(P_0+a)\big)+1}}{\sqrt{a^2/\big(4P_0(P_0+a)\big)+g}}P_0'$$ $$\frac{dp}{dt} = g\frac{\sqrt{c+1}}{\sqrt{c+g}}P_0'$$