(Auto-respuesta)
Suponiendo que Desmos es confiable, ahora creo que el producto en la publicación original es aproximadamente $0.99992076\times\dfrac{\pi}{2}$, por lo que la conjetura es falsa.
Por qué creo que la conjetura es falsa
Dejando $f(n)=\color{red}{\dfrac{2}{\pi}}\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\int_{k}^{k+1}\left(\frac{\sin (\pi x)}{x}\right)^2\mathrm dx\right)$, encontré que:
$\dfrac{f\left(10^N\right)}{f\left(10^{N-1}\right)}\approx 1+4.5\times10^{-N}$ para $N=3,4,5,6,7,8$
$f(10^8)\approx 0.999920757989$ (encontrado en Desmos; puede tardar en cargar)
Esto sugiere que $\lim\limits_{n\to\infty}f(n)\approx 0.99992076$, por lo que el producto en la publicación original es aproximadamente $0.99992076\times\dfrac{\pi}{2}$.
Teniendo en cuenta que, como menciona la publicación original, $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} \mathrm dx=\dfrac{\pi}{2}$ y $\int_0^\infty\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\mathrm dx=\dfrac{\pi}{2}$, es de hecho una curiosa coincidencia que el producto en la publicación original esté tan cerca de $\dfrac{\pi}{2}$.
Aún me pregunto si el producto en la publicación original tiene una expresión en forma cerrada.
La mayoría de los números pequeños están cerca de expresiones simples con $\pi$ o $e$
Elige un número real pequeño al azar, digamos entre $1$ y $2$. Afróntalo a decir cuatro decimales, y escríbelo en Wolfram. Es probable que Wolfram sugiera una forma cerrada simple que involucre $\pi$ o $e$. Por ejemplo, intenté con $1.2345$, y Wolfram sugirió $\log (2e-2)$. Descubrimos que $\dfrac{1.2345}{\log (2e-2)}\approx 1.00002$.
Otros hallazgos curiosos sobre $p(x)=\frac{\sin (\pi x)}{x}$
- $\prod\limits_{k=1}^{\color{red}{10000}}\left(1+2\int_{k}^{k+1}p(x)^2\mathrm dx\right)\approx0.99992\left(1+\frac{e}{2}\right)$ pero $\prod\limits_{k=1}^{\color{red}{100000}}\left(1+2\int_{k}^{k+1}p(x)^2\mathrm dx\right)\approx1.000005\left(1+\frac{e}{2}\right)$
- $\prod\limits_{k=1}^{\color{red}{100000}}\left(1+\frac{\pi}{2}\int_k^{k+1}\frac{|p(x)|}{x}\mathrm dx\right)\approx0.9999995\left(\frac{\sqrt{e}}{\ln 2}\right)$, pero $\prod\limits_{k=1}^{\color{red}{1000000}}\left(1+\frac{\pi}{2}\int_k^{k+1}\frac{|p(x)|}{x}\mathrm dx\right)\approx1.00001\left(\frac{\sqrt{e}}{\ln 2}\right)$
- Tenemos $\int_0^\infty p(x)^2\mathrm dx=\frac{\pi^2}{2}$, y el producto de las longitudes de arco entre raíces positivas vecinas de $p(x)$ es $\prod\limits_{k=1}^\infty \int_k^{k+1}\sqrt{1+(p'(x))^2}\mathrm dx\approx 0.9985\left(\frac{\pi^2}{2}\right)$.
Impostores matemáticos
La publicación original no es la primera vez que encuentro un "impostor matemático". Aquí hay otro.
