Tipo de homotopía de superficie de revolución

Question

Sea $X$ un grafo finito que se encuentra en un semiplano $P\subset\mathbb{R}^{3}$ e interseca el borde de $P$ en un subconjunto de los vértices de $X$. Describe el tipo de homotopía de la superficie de revolución obtenida al girar $X$ alrededor de la línea del borde de $P.

Dado que componentes conectadas distintas de $X$ dan lugar a superficies disjuntas, asumí que $X$ es un grafo conexo. Si $X$ tiene vértices en el borde de $P, podemos colapsar los bordes de $X$ en esos vértices. Luego hay dos tipos de bordes. El primero une dos vértices distintos. El segundo tipo es un bucle. ¿Al girar el primer tipo se obtiene una 2-esfera, pero qué pasa con el segundo tipo?

¿Estoy en lo correcto al decir que toda la superficie de revolución es homotópica a una cuña de $S^{1}$ y $S^{2}$?

Si $X$ no tiene vértices en el borde de $P, podemos colapsar los bordes de $X$ para formar una cuña de círculos. ¿Cuál será entonces el tipo de homotopía de la superficie de revolución?

Answer 1

Cualquier grafo finito conectado está formado por ciclos y árboles. Todos los árboles son contractibles, y cada ciclo sin cuerdas es homotópicamente equivalente a $S^1$, todos unidos en un punto al que todos nuestros árboles se contrajeron. La concatenación de árboles y ciclos sin cuerdas conforma cualquier grafo finito conectado, por lo que cada componente conectada $X_i$ de tu grafo $X$, siendo un grafo finito conectado, es simplemente una unión de $1 - \chi(X_1)$ círculos (puedes comprobar que esto es equivalente al número de ciclos sin cuerdas). Por lo tanto, el grafo completo es homotópicamente equivalente a lo siguiente: $$X \simeq \coprod^n_{i=1} X_i \simeq \coprod^n_{i=1}\bigvee^{1-\chi({X_i})}_{j=0} S^1$$ (Donde $\coprod$ denota una unión disjunta).

Dado que la superficie de revolución es equivalente a tomar un producto cartesiano con $S^1$, obtenemos que la superficie de revolución de $X$ (denominémosla $Y$) es equivalente a (suponiendo que no hay vértices disjuntos): $$Y = S_1 \times X = S_1 \times \coprod^n_{i=1}\underbrace{S^1 \vee S^1 \vee \cdots \vee S^1}_{1-\chi({X_i})\text{ veces}} = \coprod^n_{i=1}\underbrace{S^1 \times S^1 \vee S^1 \times S^1 \vee \cdots \vee S^1 \times S^1}_{1-\chi({X_i})\text{ veces}} $$ Dado que $S^1 \times S^1$ es un toro ($T^2$), cada componente conectada $X_i$ de $X$ corresponde a una unión de $1-\chi({X_i})$ toros. Como tal, la superficie de revolución de dicho grafo es simplemente una unión disjunta de diferentes uniones de toros (y círculos siempre que haya un árbol disjunto ya que $S^1 \times \{x\} = S^1$).

Por lo tanto, para un grafo con $m$ árboles disjuntos y $n$ no árboles disjuntos, tu espacio es una unión disjunta de $m$ círculos ($S^1$) y $n$ componentes que son uniones de $1-\chi(X_i)$ toros cada una (donde $1-\chi(X_i)$ es el número de ciclos sin cuerdas en una componente correspondiente).