¿Por qué la restricción de una gavilla inyectiva cuasi-coherente a un subconjunto abierto sigue siendo un objeto inyectivo?

Question

X es un esquema noetheriano, F es un objeto inyectivo en la categoría de tramas cuasi-coherentes sobre X. U es un subconjunto abierto de X. ¿Por qué la restricción de F sobre U sigue siendo un objeto inyectivo en la categoría de tramas cuasi-coherentes sobre U?

Answer 1

Hola, soy el asker para la pregunta, quiero decir dos puntos:

1. Se me olvidaba la condición noetheriano; X debe ser noetheriano;

2. Pierdo la cookie por lo que no puedo entrar en esa cuenta más; No sé cómo agregar comentario o responder a otros... Por qué no tengo ese botón...

Answer 2

Esto es falso en general. En particular, si $X = SpecA$ es afín, esto implicaría que dado un inyectivo $A$ -Módulo $M$ y $f \in A$ se tendría $M_f$ es inyectiva sobre $A_f$ ; esto es FALSO en general (véase, por ejemplo, "Localization of Injective Modules" de Everett C. Dade (está en Journal of Algebra ~ abril de 1981)).

Tal vez tenga que asumir que $X$ es localmente noetheriano, o incluso noetheriano?

Answer 3

Los argumentos de tipo restricción por cero pueden funcionar realmente, con algo de esfuerzo y una hipótesis extra. Supongamos que $X$ es localmente noetheriano , $j: U \to X$ la inclusión de un subesquema abierto.

Dejemos que $Mod(X)$ y $QCoh(X)$ sean las categorías de $O_X$ -y los módulos cuasi-coherentes $O_X$ -respectivamente.

El "cierto esfuerzo" es el siguiente lema

Lema Si $X$ es localmente noetheriano, entonces los objetos inyectivos en $QCoh(X)$ son precisamente los objetos inyectivos de $Mod(X)$ que son cuasi-coherentes como gavillas de módulos.

Pf : Cualquier objeto inyectivo de $Mod(X)$ que es cuasi-coherente debe ser ciertamente inyectiva en la categoría menor $QCoh(X)$ . Para lo contrario, basta con demostrar que cualquier objeto inyectivo $I$ de $QCoh(X)$ inyecta en algunos $I'$ que es un objeto inyectivo cuasi-coherente de $Mod(X)$ , ya que entonces $I$ será un repliegue de $I'$ y por tanto inyectiva en $Mod(X)$ . Esto parece complicado, pero se demuestra en el teorema 7.18 de "Residuos y dualidad" de Hartshorne.

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Ahora, demostremos el resultado utilizando el lema: Si $J$ es un objeto inyectivo en $QCoh(X)$ entonces la dirección dura del lema implica que es inyectiva en $Mod(X)$ . El argumento de la restricción por cero se aplica en esta categoría, lo que nos permite concluir que $j^* J$ es inyectiva en $Mod(U)$ . Es claramente cuasi-coherente, por lo que aplicando la dirección fácil del Lemma vemos que es inyectiva en $QCoh(U)$ como se desee.

[Aparte: En un Noetheriano cualquier gavilla cuasi-coherente es una unión de sus subgavillas coherentes y uno puede "extender" gavillas coherentes sobre U a gavillas coherentes sobre X (véase, por ejemplo, Hartshorne Ex. II.5.15). Utilizando estos hechos, uno debería ser capaz de dar un argumento más directo en el caso noetheriano].

Answer 4

La restricción a un subconjunto abierto tiene un adjunto exacto a la izquierda (extensión por cero).