¿Por qué $1/(1-x) \neq 1/(-x+1)$ en la división larga para funciones generadoras?

Question

Si haces una división larga de $\frac{1}{1-x}$ y $\frac{1}{-x+1}$ para obtener una serie formal de funciones generadoras, obtendrás resultados diferentes:

$$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ... $$ $$ \frac{1}{-x+1} = -\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}-... $$

Pero esperamos en ambos casos obtener $g(x) = 1 + x + x^2 + x^3 +...$

Sé que se puede demostrar que las funciones generadoras correspondientes a $\frac{1}{1-x}$ y $\frac{1}{-x+1}$ son iguales considerando la identidad $(1-x)g(x) = (-x+1)g(x) = 1$, pero me resulta bastante perturbador que la división larga de polinomios, en la que solía confiar, no funcione. Además, la fracción anterior, $\frac{1}{-x+1}$ se siente más natural durante el proceso de división larga, porque tiene el término más alto primero.

Entonces, ¿cuál es la razón por la que obtengo resultados diferentes? (por ejemplo, tal vez la operación de suma no es conmutativa en este tipo de cosas, por lo que tenemos $(1-x) \neq (-x+1)$)

Answer 1

La primera serie se cumple cuando $|x| < 1$. La segunda se cumple cuando $|x| > 1

El concepto detrás de esto es la continuación analítica.

Answer 2

En el anillo de series de potencias formales, $x$ es "más pequeño" que $1$, no más grande. El término más significativo (es decir, el "más alto") de $1-x$ es $1$, no $-x.

La valuación en el anillo de series de potencias formales es lo opuesto al que estás acostumbrado en términos de grado de polinomio.

Answer 3

La división larga no da una serie infinita. Da una serie finita más un resto (y eso conduce a una serie infinita si el resto tiende a $0$).

Si escribes finitamente muchos términos más el resto, resulta que son iguales. (Para la primera serie, el resto tiende a $0$ si $|t|<1$, mientras que para la segunda serie, el resto tiende a $0$ si $|t|>1$..)