¿Por qué son más interesantes los residuos cuadráticos que los residuos cúbicos?

Question

Existe una gran teoría de los residuos cuadráticos. Hasta donde sé, no hay una teoría igualmente grande de los residuos cúbicos o una historia de estudiarlos. Una búsqueda en este sitio encuentra cientos de preguntas sobre residuos cuadráticos (que incluso tiene su propia etiqueta, quadratic-residues), y solo 31 sobre residuos cúbicos.

¿Qué características matemáticas de los residuos cuadráticos llevan a que tengan una teoría importante y rica, mientras que parece haber relativamente poco que decir sobre los residuos cúbicos?

Tengo un par de ideas:

• La identidad de Brahmagupta-Fibonacci asegura que las formas cuadráticas tienen propiedades multiplicativas interesantes; no hay una identidad correspondiente para los cubos.
• La métrica euclidiana involucra potencias de segundo grado y no de tercer grado, por lo que las preguntas sobre propiedades geométricas de las retículas $\Bbb Z^n$ son más propensas a depender de propiedades de los cuadrados que de los cubos.

Pero tal vez estas sean dos caras del mismo problema subyacente. Creo que se conectan en el hecho de que mientras $|z|=\sqrt[3]{x^3+y^3}$ se puede usar como una norma en $\Bbb C$, carece de la propiedad importante de que $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$.

Aun así, siento que estoy perdiendo la imagen más grande. ¿Cuál es la imagen más grande?

Answer 1

No sé que haya una sola cosa decisiva que decir sobre esto, así que lanzaré un montón de observaciones que creo que se suman a algún tipo de imagen. Creo que podemos ampliar significativamente la pregunta en al menos dos direcciones:

• ¿Qué hace que las formas cuadráticas sean especiales en comparación con las formas cúbicas, etc.? (Los residuos cuadráticos vs. cúbicos corresponden al caso especial de entender la forma cuadrática $x^2$ vs. la forma cúbica $x^3$ sobre $\mathbb{F}_p$).
• ¿Qué hace que el número $2$ sea especial, en general? Ver por ejemplo ¿Existe una explicación de alto concepto sobre por qué la característica $2$ es especial? y ¿Qué tiene de especial la característica $2$?, y probablemente otros.

Así que aquí hay un montón de observaciones.

1. $2$ es el único primo que divide a $p - 1$ excepto por un número finito de primos $p$; esto significa que para cada primo $p \ge 3$ exactamente la mitad de los residuos no nulos $\bmod p$ son residuos cuadráticos, y la mitad son no residuos cuadráticos. Así que los residuos cuadráticos proporcionan una descomposición significativa de $\mathbb{F}_p^{\times}$ para todos los $p \ge 3$, mientras que por ejemplo la teoría de los residuos cúbicos es trivial para $p \equiv 2 \bmod 3$ y solo interesante para $p \equiv 1 \bmod 3$.

2. El comportamiento de las formas cuadráticas se puede distinguir de las formas cúbicas y de grado superior en base al siguiente argumento de contar dimensiones. El espacio de formas homogéneas de grado $d$ en $n$ variables tiene dimensión ${n+d-1 \choose d}$, pero $GL_n$ tiene dimensión $n^2$. Ambos solo son comparables para $d = 2$, así que solo las formas cuadráticas pueden 1) tener una clasificación razonablemente bien comportada hasta el isomorfismo, y 2) tener una buena probabilidad de tener automorfismos interesantes de forma genérica. Por ejemplo, ¡los automorfismos $O(n)$ de la forma cuadrática euclidiana! Este conteo de dimensiones sugiere heurísticamente, y creo que se sabe que es verdad, que el grupo de automorfismos de la forma cúbica genérica o de grado superior es finito. Para más información sobre esto, ver por ejemplo Hay una teoría agradable de formas cuadráticas. ¿Y qué hay de las formas cúbicas, formas cuárticas, formas quínticas, ...?, y también Naturaleza de la Norma Euclidiana para una discusión sobre lo que distingue la norma euclidiana de otras normas en $\mathbb{R}^n$, en particular las normas $\ell^p$.

3. La distinción anterior entre formas cuadráticas y formas cúbicas+ se manifiesta tanto en la clasificación de álgebras de Lie semisimples (y clasificaciones relacionadas: grupos de Lie semisimples compactos, grupos reductivos, etc.) como en la clasificación de grupos simples finitos, sugiriendo que es bastante robusto. Es decir, tenemos familias infinitas de grupos asociados a formas cuadráticas (los grupos / álgebras de Lie ortogonales y unitarios, y sus análogos sobre campos finitos), pero no hay tales familias infinitas asociadas a formas cúbicas o de grado superior. Algunos de los grupos excepcionales pueden ser definidos en términos de formas cúbicas, pero ninguno de ellos generaliza a familias infinitas, sugiriendo que las formas cúbicas involucradas son bastante especiales (por ejemplo, $G_2$ se puede definir en términos de una forma cúbica en $\mathbb{R}^7$ relacionada con los octoniones). En otras palabras, tanto la clasificación de álgebras de Lie semisimples como la clasificación de grupos simples finitos nos dicen que no hay una familia infinita de análogos cúbicos+ de los grupos ortogonales o unitarios.

4. Relacionado con el argumento de contar dimensiones, una forma cuadrática no degenerada produce una identificación de un espacio vectorial f.d. $V$ con $V^{\ast}$. Esto sugiere más en general que las cosas cuadráticas están relacionadas con las dualidades, y las dualidades son un tema muy fundamental y común en matemáticas. Por lo tanto, las formas cúbicas podrían estar relacionadas con "trialidades"; estas existen pero son mucho menos comunes, por ejemplo la trialidad $\text{Spin}(8)$ (que está nuevamente relacionada con los octoniones!). Si definimos una trialidad como un apareamiento trilineal adecuado entre $3$ espacios vectoriales entonces resulta que sobre $\mathbb{R}$ solo existen en dimensiones $1, 2, 4, 8$, y están estrechamente relacionadas con los álgebras de división $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O}$ en esas dimensiones; ver los enlaces para más información.

Probablemente haya mucho más que decir pero creo que eso ya es suficiente. Creo que hay un misterio bastante profundo aquí y me gustaría entenderlo mejor.

Answer 2

Los residuos cuadráticos parecen más interesantes porque la teoría elemental de números trata sobre $\mathbf Z$ y en $\mathbf Z$ las únicas unidades son $\pm 1$. Podemos hacer cosas con residuos cúbicos y cuárticos en $\mathbf Z$, pero a veces es incómodo porque no tenemos las raíces cúbicas o cuárticas de la unidad en $\mathbf Z$.

Si haces teoría de números en $\mathbf Z[\omega]$ (donde $\omega$ es una raíz cúbica no trivial de la unidad) o en $\mathbf Z[i]$ entonces podrías decir cosas interesantes acerca de los residuos cúbicos y los residuos cuárticos, respectivamente. Ahí es donde tienes las leyes de reciprocidad cúbica y cuártica.

Para tener aspectos generales agradables de los residuos de $n$-ésima potencia, quieres trabajar en un entorno donde tengas las raíces $n$-ésimas de la unidad.

La ubicuidad de las formas cuadráticas en comparación con las formas de grado superior es otro problema: ver aquí.