¿Por qué se pueden aplicar operaciones con números reales a números complejos?

Question

Estaba mirando la definición de la unidad imaginaria $i$. La definimos por $i^2=-1$. Pero, ¿qué significa incluso elevar al cuadrado en ese contexto?

Es fácilmente demostrable que no existen soluciones reales a esta ecuación. Entonces decimos que definimos $i$ como un nuevo tipo de número tal que la ecuación es verdadera. Entonces, $i$ no es un número real.

Pero utilizamos la multiplicación en esa ecuación, y hasta donde yo sé, la multiplicación sólo está definida entre números reales en este punto, y $i$ claramente no es un número real. Entonces, ¿cómo podemos aplicar un operador exclusivo para números reales en un número que no es real?

Ediciones - Para mayor claridad

Answer 1

Una forma de pensar en los números complejos es como una extensión de los números reales, en el sentido de que comenzamos con todos los números reales típicos (junto con sus operaciones típicas) y agregamos un símbolo extra "$i$". En este contexto, una expresión como $3 + 2i - i^2$ sería tan significativa como una expresión como $3 + 2x - x^2$, donde $x$ es alguna variable cuyo valor no asumimos (una "indeterminada"). Por lo tanto, estamos estudiando efectivamente una colección de polinomios reales con la variable $i$.

Sin embargo, lo que distingue al símbolo $i$ del símbolo $x$ es que decidimos (arbitrariamente) que $i^2 = -1$ (mientras que no asumimos nada verdadero sobre $x$). No hay ningún número real que satisfaga esto, por lo tanto, $i$ no puede ser un número real, pero si aceptamos tratar el símbolo $i$ como un "símbolo formal" - un término cuyo valor no está especificado ni siquiera definido; en cambio, se define en términos de las relaciones que satisface - entonces consecuentemente una expresión como $3 + 2i - i^2$ sería identificada como lo mismo que $3 + 2i - (-1) = 4 + 2i$. Y todas las reglas y comportamientos típicos de los números complejos siguen.

La forma "correcta" / formal de hacer esto es comenzar con un espacio de todos los polinomios, lo que podrías denotar como $\mathbb{R}[x]$ (que incluye términos como $3 + 2x - x^2$ y $4 + 2x$, pero que se consideran polinomios diferentes) y luego declarar que el polinomio $x^2 + 1$ es "algebraicamente lo mismo que" el polinomio $0$. Esto se logra agrupando polinomios en clases, donde dos polinomios (como $3+2x-x^2$ y $4+2x$) se consideran relacionados si su diferencia es un múltiplo polinómico de $x^2 + 1$ (en este caso, $(4+2x) - (3+2x-x^2) = x^2+1{}\ ``=" 0$). Bajo este esquema de agrupación, cada grupo individual tiene un representante único en forma de $a+bx$ (para encontrarlo, comienza con cualquier polinomio en un grupo dado y luego divide por $x^2+1$ y toma el resto polinómico).

Finalmente, descubrimos que hay una estructura algebraica bien definida en el conjunto de todas las agrupaciones; resulta que si tomamos cualquier par de clases de polinomios con elementos representativos respectivos $a+bx$ y $c+dx$ y cualquier par de polinomios de estas clases, su suma siempre pertenecerá a la clase con elemento representativo $(a+c)+(b+d)x$ y su producto siempre pertenecerá a la clase con elemento representativo $(ac - bd) + (ad+bc)x$. Por lo tanto, podemos olvidarnos de los polinomios y sus agrupaciones y todos esos detalles formales y simplemente trabajar con estos elementos representativos, con sus operaciones algebraicas definidas de esta manera, y todas las propiedades típicas que esperamos de los números reales deberían seguir sosteniéndose en este sistema extendido (excepto, por supuesto, que $x^2 = -1$ no tiene solución). Y para mayor precisión, podemos decidir escribir $i$ en lugar de $x$, porque el símbolo es sin sentido de todos modos.

Esta es una famosa construcción algebraica de $\mathbb{C}$ que también podría ser denominada como $\mathbb{R}[i]/\langle i^2+1\rangle$, lo que significa: estamos considerando un espacio de polinomios reales (polinomios con coeficientes reales) con la variable $i$, pero "modulamos" o tomamos módulos con respecto al polinomio $i^2+1$, que se identifica algebraicamente con $0$.

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Edit: para responder más directamente a tu pregunta, la razón por la cual estamos justificados para considerar una expresión como $i^2$ dentro del marco anterior es porque $i$ aquí no representa un "nuevo número" que hayamos inventado de la nada, que no existe dentro de $\mathbb{R}$. Más bien, $i$ representa la variable de un polinomio con coeficientes reales (por lo tanto, $i$ puede imaginarse como de valor ostensiblemente real, aunque no elegimos un valor para él y lo dejamos como una indeterminada). Además, la afirmación de que $i^2 = -1$ no es una igualdad estricta, sino que es en realidad una equivalencia módulo el polinomio $i^2+1$ (de la misma manera que podrías decir que $1$ y $6$ son equivalentes módulo $5$, ya que cada uno deja un resto de $1$ después de dividir por $5$).

Por lo tanto, en ningún momento estamos considerando operaciones en algo que no sea de valor real. La discrepancia, entonces, entre $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$ es esta: cada elemento de $\mathbb{R}$ puede identificarse con un elemento único de $\mathbb{C} = \mathbb{R}[i]/ \langle i^2 + 1\rangle$ - es decir, el número real $a$ se identifica con el polinomio constante $a$. Por otro lado, no hay ningún elemento de $\mathbb{R}$ que pueda identificarse algebraicamente con el polinomio $i$, ya que $i$ satisface $i^2 + 1 = 0$ que ningún número real puede hacer. En otras palabras, $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C} = \mathbb{R}[i]/\langle i^2+1\rangle$ no son isomorfos como estructuras algebraicas; hay elementos de $\mathbb{C}$ que exhiben propiedades algebraicas que ningún elemento de $\mathbb{R}$ puede satisfacer.

Answer 2

Lo hacemos definiendo un concepto más general de multiplicación, que se extiende a los números complejos; también queremos definir qué es incluso un número complejo, usando conceptos que ya conocemos.

Y luego incorporamos los reales en nuestro nuevo constructo.

Dado que tenemos una construcción de Números Reales, podemos construir los Números Complejos de la siguiente manera:

Los Números Complejos se definen como pares de reales, $(x, y)$,

donde $(a, b) \times (c, d)$ se define como el par $(ac - bd, ad + cb)$

y $(a, b) + (c, d) = (a+c, b + d). $

Así, $(m, 0) \times (n, 0) = (mn, 0)$ y $(m, 0) + (n, 0) = (m+n, 0)$ - con esta observación incorporamos los reales en esta construcción asociando el número complejo $(m, 0)$ con el número real $m.$

Además, notemos que $(0, 1) \times (0, 1) = (-1, 0) = -1 .$

Denotamos $(0, 1)$ con la letra $i$;

entonces, $i \times i = -1$.

Observación: $(0, 1) \times (m, n) = (-n, m) $.

También, notemos que $(a, b) = (a, 0) + (0, b) $

$= (a, 0) + (0, 1) \times (b, 0) $

$= a + ib $

$= a + bi .$

Así que podemos escribir cualquier número complejo como $a + bi .$

Esto da una interpretación geométrica muy tangible a los números complejos. Son solo coordenadas en el plano de los Números Reales.

El Eje X constituye la Recta de Números Reales.

Multiplicar por $i$ se ve como una rotación de $90$ grados.

Entonces, puedes preguntarte "¿qué es este objeto extraño que, al multiplicarse a sí mismo, produce un número negativo?"

La respuesta, un par ordenado de reales, con la multiplicación definida como arriba, donde multiplicar por $i$ es solo una rotación a lo largo de un círculo.

Creo que esta es una conceptualización útil, porque

1. brinda una visión de por qué los números complejos podrían ser útiles para modelar el mundo real.

2. construye objetos a partir de los que ya conocemos, con propiedades que deseamos y que nos permiten resolver ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$

3. Da una construcción de un objeto, que de otro modo podría parecer misterioso en cuanto a cómo cualquier cosa podría tener la propiedad $i \times i = -1$

Así que construimos un objeto que cumple con la propiedad, en lugar de simplemente decir que un objeto tiene esa propiedad.

Answer 3

La multiplicación de números complejos está definida por

$$(a+bi)(c+di):=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Con esta definición puedes ver que si $a=c=0$ y $b=d=1$ entonces la fórmula anterior da

$$i^2=(0+1i)(0+1i)=-1$$

La clave aquí es identificar el número complejo $a+bi$ con el punto $(a,b)$ en el plano $xy-$, entonces la definición de multiplicación dada arriba se convierte en

$$(a,b)(c,d):=(ac-bd, ad+bc)$$

y la adición está definida punto por punto, es decir,

$$(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)$$

Más adelante puedes aprender que la multiplicación por $i$ corresponde a la rotación de puntos en el plano en 90 grados en dirección opuesta a las manecillas del reloj, por lo que $i^2=-1$ simplemente indica que el punto $(0,1)$ rotado 90 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj se mapea al punto $(-1,0)$

Answer 4

Probablemnte sea demasiado tarde para contribuir con algo, pero creo que el quid de la cuestión es éste:

Los números complejos no son $\Bbb{R}$ con un nuevo número $i$ adjunto. Son $\Bbb{R}$ con infinitamente nuevos números adjuntos. Adjuntamos $2i$, y $4 - 7i$ y $-\frac{\pi}{e^2} + \gamma i$, y cada combinación que podamos hacer en la forma $a + ib$. No solo adjuntamos una raíz cuadrada de $-1$, sino que adjuntamos nuevas raíces $n$-ésimas para cada número (para $n \ge 3$), así como raíces de todos los polinomios con coeficientes reales.

Cuando se introducen los números complejos a los estudiantes por primera vez, la unidad imaginaria $i$ a menudo se introduce casi como un experimento mental: "¿Y si solo arrojáramos una raíz cuadrada de $-1$ en los números reales?". A partir de ahí, la forma $a + ib$ simplemente aparece mágicamente, y la suma/multiplicación se derivan de presuponer propiedades de la suma y la multiplicación, como la distributividad y la conmutatividad. ¡Vaya, las cosas tienden a "funcionar", y obtenemos un campo funcional con propiedades útiles!

Sin embargo, tienes razón al ser escéptico de este proceso. Así no es como se definen los números complejos. De hecho, aquí no hay una definición que valga. ¡No puedes simplemente nombrar un nuevo número $i$ definido por una propiedad específica como $i^2 = -1$, inventar una forma como $a + ib$, y esperar que propiedades básicas como la distributividad y la conmutatividad simplemente encajen! No hay una base rigurosa obvia que respalde que esto funcione. Solo funciona porque el profesor sabe, de antemano, que hay un sólido fundamento por encontrar.

En cambio, los números complejos deberían definirse como un todo, como han hecho Rob, Michael Carey y bill. Define todo $\Bbb{C}$ al mismo tiempo. Puedes definirlo como $\Bbb{R}^2$, o la construcción más complicada $\Bbb{R}[i]/\langle i^2 + 1 \rangle$ de la respuesta de Rob, o incluso como un conjunto de matrices reales: $$\Bbb{C} := \left\{\pmatrix{a & -b \\ b & a} : a, b \in \Bbb{R}\right\}.$$ No importa cómo lo hagas, deberías definirlo todo, todo de una vez. También deberías definir operaciones como la suma y la multiplicación. Entonces, una vez que lo hayas definido, identifica los números reales dentro de él (en el caso anterior, el número real $x$ se identifica con $xI$, donde $I$ es la matriz identidad), y muestra que hay una raíz cuadrada de $-1$ (arriba: $i:=\pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0}$ al cuadrado da $-I$).

Answer 5

Hay otra manera de definir números complejos que es más atractiva estéticamente y proporciona una respuesta más natural a la pregunta, pero requiere un poco más de sofisticación.

Considera el conjunto de polinomios de una variable, con coeficientes reales, por ejemplo $3x^3+4x^2+5x+1$. Aquí $x$ no es una incógnita, es solo una marca. Luego hay maneras naturales de sumar y multiplicar estos polinomios, por lo que forman un anillo. Dentro de ese anillo, hay un ideal generado por $x^2+1$. Considera el cociente del anillo por este ideal. Es un campo (es decir, cada elemento excepto la identidad aditiva 0 tiene un inverso multiplicativo). Y dentro de él, $x^2+1=0$. Así que tiene todas las propiedades que buscamos para considerarse el espacio de números complejos.