¿Cómo demostrar que los números triangulares siguen el patrón de ser impar, impar, par, par, impar, impar...?

Question

¿Cómo puedo demostrar que los números triangulares siguen el patrón impar, impar, par, par? Los primeros 8 números triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36.

El enésimo número triangular es $T_n = n(n+1)/2$

Mi primer pensamiento es asumir que $T_n$ y $T_{n+1}$ son impares y luego demostrar que los siguientes dos números triangulares son pares y los dos siguientes impares usando inducción.

También puedo intentar asumiendo que $T_n$ y $T_{n+1}$ son impares y luego los dos siguientes pares, seguido de asumir que $T_n$ y $T_{n+1}$ son pares y mostrando que los dos siguientes son impares.

Me pregunto si hay un enfoque más corto.

Answer 1

Una prueba por recurrencia es posible, como se indica en un comentario. Pero en realidad una prueba directa es tan simple. Hay $4$ casos:

• $n = 0 \pmod 4$: entonces $n/2$ es par, por lo que $T_n$ es par.
• $n = 1 \pmod 4$: entonces $n+1 = 2 \pmod 4$, por lo que tanto $n$ como $(n+1)/2$ son impares, por lo que $T_n$ es impar.
• $n = 2 \pmod 4$: entonces tanto $n/2$ como $n+1$ son impares, por lo que $T_n$ es impar.
• $n = 3 \pmod 4$: entonces $n+1 = 0 \pmod 4$, por lo que $(n+1)/2$ es par, y $T_n$ es par.

También muestra claramente por qué la situación es la misma para $n = 0 \pmod 4$ y $n = 3 \pmod 4$, y lo mismo para $n = 1 \pmod 4$ y $n = 2 \pmod 4$.

Answer 2

Pista: $ $ incrementar el índice por $\:\!2\:\!$ cambia la paridad, es decir, $\!\bmod 2\!:\ T_{n+2} \equiv T_n+1\,$ entonces $\,T_1,T_2\equiv 1,1\Rightarrow T_3,T_4\equiv 0,0.\,$ Esta secuencia inicial $\equiv 1,1,0,0\,$ es un periodo que cicla para siempre por $\,T_{n+\color{c00}4}\equiv \underbrace{T_{n+2}}_{\large T_n+1}\!+1\equiv T_n.\ $ Vea más abajo.

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Teorema $ $ Si la secuencia $\,a_k\,$ satisface $\,a_{k+2} = f(a_k)\,$ where $f$ tiene periodo $\,\color{#c00}2,\,$ es decir, $\,f^2(x) = x,\,$ entonces la secuencia $\,a_k\,$ tiene periodo $\:\!4=2\cdot\color{#c00}2,\,$ ciclando infinitamente los valores $\,a_1,a_2,f(a_1),f(a_2)$.

Prueba $ $ Por hipótesis $\,a_3=f(a_1),\,a_4 = f(a_2),\,$ y $\,a_{n+4} = f(a_{n+2}) = f^2(a_n) = a_n,\,$ así que la afirmación sigue por inducción.

Answer 3

Otro enfoque posible: Intenta utilizar el hecho de que cuando agregas un número par a un total, el nuevo total tiene la misma paridad (par o impar) que el total anterior; pero cuando agregas un número impar a un total, el nuevo total tiene la paridad opuesta al total anterior.

Intenta aplicar esto a la suma en ejecución $1 + 2 + 3 + ...$ que te da los números triangulares sucesivos a medida que avanzas.