Al demostrar que cada espacio métrico separable tiene una base numerable

Question

Teorema: Todo espacio métrico separable $(M, d)$ tiene una base numerable.

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He echado un vistazo a un par de demosraciones para este teorema (por ejemplo, ver la que se proporciona aquí), pero aún me atasco en lo siguiente: ¿Por qué necesariamente el entorno de un elemento arbitrario del espacio métrico $M$ (que podría no pertenecer al subconjunto denso) contiene un elemento del subconjunto denso numerable? Específicamente, sea $X$ un subconjunto denso numerable de $M$, $z \in M$ y $G \subset M$ un abierto tal que $z \in G$. Entonces, ¿por qué necesariamente a una distancia $h$ para la cual la bola abierta $B(z, h) \subset G$ existe un elemento $x_k \in X$ tal que $d(z, x_k) < h$?

La inclusión de elementos en la dirección opuesta tiene todo el sentido para mí: Si tomamos el subconjunto denso numerable $X$ de $M$ y consideramos la colección $C = \{B(x, r)\mid x \in X, r \in \mathbb{Q}_{+}\}$ entonces, por supuesto, cualquier $z \in M$ está contenido en cualquier entorno de los elementos de $X$ para algún radio $r \in \mathbb{Q}_{+}$ (ya que podemos tomar radios arbitrariamente grandes/pequeños $r$).

Pregunta adicional: Sé que no es una demostración elegante, pero para probar el teorema, ¿podríamos hacer lo siguiente: i.) ordenar los elementos del subconjunto denso numerable $X$ en la secuencia $x_1, x_2, \ldots = \left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$, ii.) formar la colección de entornos $\{B(x_n, n)\mid n \in \mathbb{N}\}$? Dado que $X$ es denso, existe un número infinito de elementos de la secuencia $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ en cualquier entorno $\delta > 0$. Por lo tanto, al mover una pequeña distancia $\delta > 0$, necesariamente cubrimos todos los elementos del espacio $M$.

Answer 1

Sea $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ un subconjunto denso de $(M,d)$. Para cada $n$, sea $\{B_{n,k}\}_{k=1}^{\infty}$ una base numerable en $x_n$. Tal base numerable existe en cada punto de cada espacio métrico. Entonces, $\{B_{n,k}\}_{k,n}$ es una base numerable para todo el espacio $(M,d)$. Para demostrar esto, elige un punto $u\in X$. Dado un conjunto abierto $U$ que contiene a $u$, existe algún $n$ tal que $U$ contiene una bola abierta alrededor de $x_n$ (porque $\{x_n\}$ es denso en $(M,d)$), y consecuentemente también contiene $B_{n,k}$ para $k$ suficientemente grande (porque $B_{n,k}$ es una base local en $x_n$ y $U$ es abierto). Esto demuestra que $\{B_{n,k}\}_{k,n}$ es una base para $(M,d)$, y es una unión numerable de conjuntos numerables, por lo tanto es numerable.