Teorema: Todo espacio métrico separable (M,d) tiene una base numerable.
He echado un vistazo a un par de demosraciones para este teorema (por ejemplo, ver la que se proporciona aquí), pero aún me atasco en lo siguiente: ¿Por qué necesariamente el entorno de un elemento arbitrario del espacio métrico M (que podría no pertenecer al subconjunto denso) contiene un elemento del subconjunto denso numerable? Específicamente, sea X un subconjunto denso numerable de M, z∈M y G⊂M un abierto tal que z∈G. Entonces, ¿por qué necesariamente a una distancia h para la cual la bola abierta B(z,h)⊂G existe un elemento xk∈X tal que d(z,xk)<h?
La inclusión de elementos en la dirección opuesta tiene todo el sentido para mí: Si tomamos el subconjunto denso numerable X de M y consideramos la colección C={B(x,r)∣x∈X,r∈Q+} entonces, por supuesto, cualquier z∈M está contenido en cualquier entorno de los elementos de X para algún radio r∈Q+ (ya que podemos tomar radios arbitrariamente grandes/pequeños r).
Pregunta adicional: Sé que no es una demostración elegante, pero para probar el teorema, ¿podríamos hacer lo siguiente: i.) ordenar los elementos del subconjunto denso numerable X en la secuencia x1,x2,…=(xn)n∈N, ii.) formar la colección de entornos {B(xn,n)∣n∈N}? Dado que X es denso, existe un número infinito de elementos de la secuencia (xn)n∈N en cualquier entorno δ>0. Por lo tanto, al mover una pequeña distancia δ>0, necesariamente cubrimos todos los elementos del espacio M.