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Al demostrar que cada espacio métrico separable tiene una base numerable

Teorema: Todo espacio métrico separable (M,d) tiene una base numerable.


He echado un vistazo a un par de demosraciones para este teorema (por ejemplo, ver la que se proporciona aquí), pero aún me atasco en lo siguiente: ¿Por qué necesariamente el entorno de un elemento arbitrario del espacio métrico M (que podría no pertenecer al subconjunto denso) contiene un elemento del subconjunto denso numerable? Específicamente, sea X un subconjunto denso numerable de M, zM y GM un abierto tal que zG. Entonces, ¿por qué necesariamente a una distancia h para la cual la bola abierta B(z,h)G existe un elemento xkX tal que d(z,xk)<h?

La inclusión de elementos en la dirección opuesta tiene todo el sentido para mí: Si tomamos el subconjunto denso numerable X de M y consideramos la colección C={B(x,r)xX,rQ+} entonces, por supuesto, cualquier zM está contenido en cualquier entorno de los elementos de X para algún radio rQ+ (ya que podemos tomar radios arbitrariamente grandes/pequeños r).

Pregunta adicional: Sé que no es una demostración elegante, pero para probar el teorema, ¿podríamos hacer lo siguiente: i.) ordenar los elementos del subconjunto denso numerable X en la secuencia x1,x2,=(xn)nN, ii.) formar la colección de entornos {B(xn,n)nN}? Dado que X es denso, existe un número infinito de elementos de la secuencia (xn)nN en cualquier entorno δ>0. Por lo tanto, al mover una pequeña distancia δ>0, necesariamente cubrimos todos los elementos del espacio M.

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Sea {xn}n=1 un subconjunto denso de (M,d). Para cada n, sea {Bn,k}k=1 una base numerable en xn. Tal base numerable existe en cada punto de cada espacio métrico. Entonces, {Bn,k}k,n es una base numerable para todo el espacio (M,d). Para demostrar esto, elige un punto uX. Dado un conjunto abierto U que contiene a u, existe algún n tal que U contiene una bola abierta alrededor de xn (porque {xn} es denso en (M,d)), y consecuentemente también contiene Bn,k para k suficientemente grande (porque Bn,k es una base local en xn y U es abierto). Esto demuestra que {Bn,k}k,n es una base para (M,d), y es una unión numerable de conjuntos numerables, por lo tanto es numerable.

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