Desagregar señal negativa completa y no negativa

Question

Tengo $ n $ señales ($ x_1, x_2, \dots, x_n $). Cada señal es agregada por un vector independiente no negativo ($ d_i $) y un vector completamente negativo ($ c $), y cada señal tiene el mismo $ c $, definido como:

$ x_1 = d_1 + c \\ x_2 = d_2 + c \\ \dots \\ x_n = d_n + c $

donde, $ d_i \geq 0, c \leq 0 $.

Este problema también se puede escribir como:

$X = BA$

donde, $ X = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{t \times n} $, $ B = (d_1, d_2, \dots, d_n, c) \in \mathbb{R}^{t \times (n + 1)} $, $ A \in \mathbb{R}^{(n + 1) \times t} $.

$ A = \begin{bmatrix} 1,0,\dots,0 \\ 0,1,\dots,0 \\ \dots \\ 0,0,\dots,1 \\ 1,1,\dots,1 \end{bmatrix} $

Este es un problema subdeterminado, porque hay $ n $ funciones con $ n + 1 $ variables. Sin embargo, hay restricciones de signo que pueden ayudarnos a resolver este problema. Si solo tengo acceso a $ x_1, x_2, \dots, x_n $, ¿cómo puedo introducir esas restricciones para desagregar $ x_1, x_2, \dots, x_n $ y obtener $ c $? ($ d_1, d_2, \dots, d_n $ no necesitan ser obtenidos.)

¿Alguien puede sugerir algún algoritmo para representar $ c $? ¿o hacer la reducción dimensional para convertir este problema en un problema determinado?

¿ICA subdeterminado? ¿Modelo de Markov oculto? u otro aprendizaje no supervisado.

Answer 1

Para mayor comodidad, reformularé tu sistema utilizando la notación de "columna" y asumiendo que todas las variables desconocidas son no negativas, es decir, $$ \mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{b}, $$ con $\mathbf{x} \triangleq [x_1,x_2,\ldots,x_n]^T$, $\mathbf{b} \triangleq [d_1,d_2,\ldots,d_n, c]^T$, $\mathbf{A}\triangleq[\mathbf{I}_n,-\mathbf{1}_n]$, donde $\mathbf{I}_n$ es la matriz identidad de $n\times n$, y $\mathbf{1}_n$ es la columna de unos de $n\times 1$.

Dado que tu sistema está subdeterminado, hay múltiples opciones para $c$ (y $\{d_i\}$) que son válidas. En principio, debes identificar todas ellas y elegir la más adecuada según algún criterio. Este criterio generalmente estará representado por alguna función $f(\cdot)$ de $c$ y $\{d_i\}$.

Lo anterior implica que estás tratando esencialmente con un problema de optimización de la forma

$$ \begin{align} \text{maximizar } & f(\mathbf{b})\\ \text{sujeto a } & \mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{b},\\ & \mathbf{b}\geq \mathbf{0}, \end{align} $$ con variables de optimización los elementos de $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^{n+1}$ y la notación $\mathbf{b}\geq \mathbf{0}$ representando la suposición (restricción) de que todos los elementos de $\mathbf{b}$ son no negativos.

Por supuesto, la solución (y el método para resolver) el problema dependerá de la elección de la función objetivo $f(\cdot)$. Por ejemplo, un objetivo lineal de la forma $f(\mathbf{b})=\mathbf{c}^T \mathbf{b}$, para algún $\mathbf{c}\in \mathbb{R}^{n+1}$, resulta en un problema de programación lineal para el cual existen solucionadores numéricos eficientes.

Observa que la formulación del problema anterior se puede simplificar observando que cualquier vector $\mathbf{b}$ que satisfaga $\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{b}$ debe tener la forma $$ \mathbf{b}=\mathbf{b}_0 + g \mathbf{1}_{n+1}, $$ donde $\mathbf{b}_0$ es cualquier solución (particular) de $\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{b}$ y $g\in \mathbb{R}$. Dada cualquier solución particular, digamos, la solución de mínimos cuadrados $\mathbf{b}_0=\mathbf{A}^T(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)^{-1} \mathbf{x}$, podrías plantear el problema de optimización con respecto a la variable escalar $g$ de la forma $$ \begin{align} \text{maximizar } & f(g)\\ \text{sujeto a } & \mathbf{b}_0 + g \mathbf{1}_{n+1} \geq \mathbf{0},\\ \end{align} $$