¿Prueba (demasiado simple?) de que $f(A) \setminus f(B) \subseteq f(A \setminus B)$?

Question

Esta pregunta se ha formulado varias veces y las respuestas dadas allí no son directas. La razón por la que la estoy publicando aquí es que mi solución parece mucho más sencilla.

Como estoy autoenseñándome, existe una alta probabilidad de que haya cometido un error, y me gustaría aprender de dicho error.

---

Problema: Sean $A$, $B$ dos subconjuntos de un conjunto $X$, y sea $f:X \to Y$ una función. Mostrar que

$$f(A) \setminus f(B) \subseteq f(A \setminus B)$$

Mi Solución:

Primero establezcamos los conceptos básicos:

$$x \in A \implies f(x) \in f(A) \tag{i}$$ $$x \in B \implies f(x) \in f(B) \tag{ii}$$

La contrapositiva de la segunda afirmación será útil:

$$f(x) \notin f(B) \implies x \notin B \tag {iii}$$

Ahora construimos el conjunto $f(A) \setminus f(B)$.

• Si establecemos que $x \in A$ es verdadero, entonces $f(x) \in f(A)$ es verdadero. Queremos esto porque es verdad para el conjunto $f(A) \setminus f(B)$.

• También queremos que $f(x) \notin f(B)$ sea verdadero porque es cierto para el conjunto $f(A) \setminus f(B)$. Si esto es cierto, entonces $x \notin B$ es cierto.

Recopilando las cosas que son verdaderas, tenemos:

• $x \in A$
• $x \notin B$

Por lo tanto, $f(x) \in f(A) \setminus f(B) \implies f(x) \in f(A \setminus B)$. Es decir,

$$f(A) \setminus f(B) \subseteq f(A \setminus B) \quad \square$$

Answer 1

Si establecemos $x \in A$ como verdadero, entonces $f(x) \in f(A)$ es verdad. Queremos esto porque es verdad del conjunto $f(A) \setminus f(B).$

También queremos que $x \in A$ porque de lo contrario $x$ no estará en $A \setminus B.$

Pero lo que "queremos" que sea verdad no puede confiarse de esta manera como parte de una prueba. Después de todo, también "queremos" que el teorema sea verdad.

Así que al final, todo lo que has demostrado es que si $x \in A \setminus B,$ entonces $f(x) \in f(A) \setminus f(B)$ y $f(x) \in f(A \setminus B),$ mientras que lo que realmente necesitabas probar era que si $y \in f(A) \setminus f(B)$ entonces $y \in f(A \setminus B).$

---

Pero la prueba se arregla fácilmente. Como ya se explicó en los comentarios bajo la pregunta, puedes empezar con $y \in f(A) \setminus f(B)$ y mostrar que el $x$ que quieres realmente existe. Entonces puedes terminar y la prueba será válida porque comenzaste desde una premisa apropiada.