¿Por qué necesitamos vectores de posición?

Question

El vector de posición es un vector que define la ubicación. También es el único tipo de vector que no se puede mover. Pero las coordenadas también pueden hacer el mismo trabajo. También definen la posición. Entonces, ¿por qué necesitamos el vector de posición? ¿Es porque la resta de vectores de posición resulta en un vector de desplazamiento y la resta de dos puntos no puede dar un vector?

Edición: Creo que he encontrado la respuesta. Pero no estoy seguro si es correcta o no. Esto es lo que pensé

Cuando cambiamos el marco de referencia y queremos determinar la posición relativa al marco de referencia cambiado, entonces puedo simplemente agregar los vectores de posición del primer marco de referencia con respecto al segundo marco de referencia y el del objeto con respecto al primer marco de referencia para obtener el vector de posición del objeto con respecto al segundo marco de referencia. Pero con puntos no puedo hacer tal cosa.

Answer 1

Entonces, ¿por qué necesitamos el vector de posición?

No necesitamos el vector de posición, de hecho es un tanto artificial. Si fuera un vector, necesariamente habría un sentido natural y significativo de la suma de vectores para las posiciones. Por ejemplo, París tiene una posición $r_P$ y Londres tiene una posición $r_L$. Si la posición fuera naturalmente un vector, entonces $\vec r_P + \vec r_L$ sería naturalmente también una posición, pero no lo es sin algunas especificaciones adicionales.

En el espacio plano, la posición se trata mucho mejor como un espacio afín. Un espacio afín a veces se describe de forma laxa como un espacio vectorial que olvidó su origen. En un espacio afín no hay una operación de suma, pero sí una operación de resta. La resta de dos elementos en un espacio afín es un vector. Entonces, en nuestro ejemplo anterior (ignorando la curvatura), mientras que $\vec r_P + \vec r_L$ no tiene sentido, $r_P - r_L$ naturalmente da un vector de desplazamiento. Este vector es la dirección específica y la distancia específica que necesitas para ir de Londres a París.

Sin embargo, cuando estás tratando con un espacio-tiempo curvo, la posición ni siquiera es un espacio afín. Para ver por qué, considera una esfera. Si tomas la posición del polo norte $r_N$ y la posición del polo sur $r_S$, entonces la diferencia entre ellos $r_N-r_S$ no es única. Puedes ir en cualquier dirección desde el polo sur y llegar al polo norte simplemente yendo la distancia correcta.

Entonces, en resumen, no necesitamos un vector de posición, y su utilidad como una cantidad auxiliar disminuye a medida que avanzas en la física más avanzada.

Answer 2

Los vectores de posición son relativos a un origen (que puede estar en movimiento, por ejemplo, la posición relativa a un punto en la superficie de la Tierra), pero son independientes del sistema de coordenadas utilizado. Por lo tanto, proporcionan una forma conveniente de describir posiciones relativas. Podemos decir que el desplazamiento del objeto 2 con respecto al objeto 1 siempre es $\vec r_2 -\vec r_1$. Tratar de expresar este desplazamiento en términos de las coordenadas esféricas de los dos objetos con respecto a algún tercer punto es bastante complicado.

Answer 3

El ejemplo estándar de un vector de posición es un vector tangente. Un vector que es un vector tangente debe ser tangente a algo y ese algo es una curva en la superficie o variedad en su dirección en el punto al que el vector está unido.

Otro ejemplo estándar es un vector afín. Un vector afín es un vector unido a una posición (en un espacio plano). Y podemos ver que los vectores de posición son más naturales que los vectores libres ya que los vectores de desplazamiento, posición y velocidad en la física newtoniana son vectores afines. También es notable que la geometría euclidiana se desarrolla en espacios afines en lugar de en espacios vectoriales.

Aunque el espacio afín es más natural que los espacios vectoriales, en realidad es más fácil desarrollar las matemáticas de los espacios vectoriales y luego los espacios afines, principalmente porque hay una descripción axiomática simple de los espacios vectoriales pero no de los espacios afines.

Answer 4

En un sistema de coordenadas, la posición de un punto se muestra mediante algunas coordenadas. Si es un sistema 2D, la posición se mostrará por (x,y) y si el sistema es 3D entonces el vector será (x,y,z). Ahora, si estos puntos se expresan en términos de xi+yj o xi+yj+zk, estos vectores son vectores de posición.

Nuevamente, los vectores de posición conducen a muchos conceptos importantes como la ley del triángulo de adición, el paralelogramo de adición y otros que las coordenadas solas no pueden hacer.

Por ejemplo, si te digo que localices un lugar en la Tierra físicamente y te doy un vector de posición (cola y cabeza) y también la latitud, longitud, ¿cuál elegirías usar? Obviamente el vector de posición ya que la cabeza del vector te da la respuesta. Latitudes y longitudes también te dan el mismo resultado, pero son bastante complejas y consumen mucho tiempo.

Espero que esto ayude.