Estructuras de giro en formas de espacio esférico de 7 dimensiones

Question

Antecedentes

Sea $M$ una variedad de spin y sea $\Gamma$ un grupo finito que actúa libre y isométricamente en $M$ de tal manera que $M/\Gamma$ es una variedad riemanniana suave. El cociente será de spin si y solo si la acción de $\Gamma$ en $M$ se eleva al haz de spin.

Por razones relacionadas con $11 = 7 + 4$, me interesé en $M=S^7$ con la métrica redonda. Hay una estructura de spin única en $S^7$ y el haz de spin es $$\mathrm{Spin}(7) \to \mathrm{Spin}(8) \to S^7.$$

Un tiempo atrás, junto con uno de mis alumnos, investigamos qué cocientes suaves $S^7/\Gamma$ son de spin y cuántas estructuras de spin inequivalentes admiten. Esto se reduce a determinar las elevaciones isomorfas de $\Gamma \subset \mathrm{SO}(8)$ a $\mathrm{Spin}(8)$.

Hay muchos subgrupos finitos $\Gamma \subset \mathrm{SO}(8)$ que actúan libremente en $S^7$, que están listados en el libro de Wolf Espacios de curvatura constante y para nuestra sorpresa (esto no sucede con $S^5$, por ejemplo) descubrimos que todos los cocientes $S^7/\Gamma$ son de spin; aunque no todos tienen la misma cantidad de estructuras de spin. Nuestros resultados se obtuvieron mediante un análisis caso por caso, pero siempre tuvimos la sospecha insidiosa de que debería haber una explicación topológica simple.

Pregunta

¿Existe una? ¿Quizás basada en la paralelizabilidad de $S^7$?

Gracias de antemano.

Edición

Estoy respondiendo a las preguntas de Chris en el primer comentario abajo.

El problema radica en la existencia de un subgrupo $\Gamma' \subset \mathrm{Spin}(8)$ tal que el cuadrado obvio conmute: $$\Gamma' \to \Gamma \to \mathrm{SO}(8) = \Gamma' \to \mathrm{Spin}(8) \to \mathrm{SO}(8)$$ y donde el primer mapa $\Gamma' \to \Gamma$ es un isomorfismo. Esto es igual a elevar $\Gamma \to \mathrm{SO}(8)$ a través de la doble cobertura de spin.

El contraejemplo más simple para $S^5$ es tomar cualquier subgrupo cíclico actuando libremente $\Gamma \subset \mathrm{SO}(6)$ de orden par.

Answer 1

Aquí hay una respuesta parcial. Si el orden de $\Gamma$ es impar, entonces esto es una aplicación trivial de mapas de transferencia. Has descrito tu variedad como un cociente $\pi:S^7 \to M = S^7/\Gamma$, y por lo tanto $S^7$ es un espacio de cobertura de $M$. El mapa de transferencia es un mapa erróneo en cohomología:

$ \tau^* : H^* (S^7) \to H^* (M) $

que existe para cohomología en, digamos, coeficientes $\mathbb{Z}/2$. La composición $\tau^* \pi^*$ es la multiplicación por el orden de $\Gamma$, que en este caso es un isomorfismo cuando el orden de $\Gamma$ es impar. Pero dado que la cohomología de $S^7$ se anula en los grados 1 y 2, esto prueba que estos grupos también se anulan para $M$ y por lo tanto $M$ tiene una estructura de espín y es única.

El caso más interesante es cuando $\Gamma$ es 2-primo. Por ejemplo, ¿por qué $\mathbb{R}P^7$ tiene una estructura de espín? Sospecho que tu intuición está en lo correcto y tiene que ver con el enmarcado de $S^7$.

Answer 2

Sospecharía que la trialidad está involucrada. Las dos representaciones espinoriales de spin(8) tienen la misma dimensión que la representación vectorial fundamental de spin(8) para todos los otros grupos espinoriales las representaciones no tienen la misma dimensión y creo que esto está relacionado con la trialidad. Aquí hay un artículo sobre la trialidad:

http://es.wikipedia.org/wiki/Trialidad

Tiene referencias a más material. También consulte este artículo sobre SO(8):

http://es.wikipedia.org/wiki/SO(8)