Convergencia de series implica convergencia de coeficientes

Question

¿Es cierto que

$$\sum_{i=0}^\infty a_{i_n} y^i \rightarrow \sum_{i=0}^\infty a_{i} y^i \quad \forall y \in [0,1]$$

implica

$$a_{i_n} \to_{n \to \infty} a_{i} \quad \forall i$$

donde $0 \leq a_i,a_{i_n} \leq 1$ para todo $i,n \in \mathbb{N}$ y $\sum_{i=0}^\infty a_i = \sum_{i=0}^\infty a_{i_n} = 1 \quad \forall n \in \mathbb{N}$?

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Al elegir $y = 0$, obtenemos inmediatamente $a_{0_n} \to_{n \to \infty} a_{0}$

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Mi idea (por favor ayuda para corrección y rigor):

$$\operatorname{lim}_{n\to\infty} \sum_{i=0}^\infty a_{i_n} y^i = \sum_{i=0}^\infty a_{i} y^i \quad \forall y \in [0,1]$$

Dado que la serie de coeficientes converge y domina esta serie de potencias para todo $y\in [0,1]$, tenemos

$$\implies \sum_{i=0}^\infty \operatorname{lim}_{n\to\infty} a_{i_n} y^i = \sum_{i=0}^\infty a_{i} y^i \quad \forall y \in [0,1]$$

Dos series de potencias son iguales si todos los coeficientes son iguales, por lo tanto tenemos:

$$\implies \operatorname{lim}_{n\to\infty} a_{i_n} = a_i$$

como se deseaba.

¿Es válido el argumento anterior?

Answer 1

Una posible forma de mostrar esto es considerar polinomios ortogonales en $[0,1].$ Sea $f_{n}=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i_{n}}y^{i},$ para todo $n\geq1$ y sea $f=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}y^{i}.$ Si tomamos $\{p_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ como una colección de polinomios con $\mathrm{deg}(p_{n})=n$ para todo $n\geq0,$ con la propiedad de que $$\langle p_{n},p_{m}\rangle=\int_{0}^{1}p_{n}(x)p_{m}(x)\mathrm{d}x=\begin{cases}1&\text{si }n=m\\0&\text{en otro caso,}\end{cases}$$ entonces tenemos que si $g(y)=\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}p_{i},$ podemos calcular los coeficientes como $\langle g,p_{i}\rangle=b_{i},$ para todo $i\geq0,$ y estos mapeos son continuos. Dado que $f_{n}\rightarrow f$ punto a punto, y dado que los $f_{n}$ y $f$ son continuos y acotados (así que no tenemos que preocuparnos por que estas integrales sean finitas), tenemos que $\langle f_{n},p_{i}\rangle\rightarrow\langle f,p_{i}\rangle$ para todo $i\geq0.

Ahora lo importante es que si $g(y)=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}y^{i}=\sum_{i=0}^{\infty}b_{i}p_{i},$ entonces $b_{i}=\sum_{j=0}^{i}c_{i,j}a_{j}$ para algunas constantes $c_{i,j}$ que no dependen de $g,$ y esto nos permite recuperar los coeficientes $a_{i}$ de los coeficientes $b_{i}$. En resumen, en tu problema anterior, la convergencia de los $b_{i}$ (los $\langle f_{n},p_{i}\rangle$) implica la convergencia de los $a_{i}$ (tus $a_{i_{n}}$), lo cual podrías mostrar mediante una inducción fuerte en $i$, si quisieras mostrar todos los detalles ($b_{0}=c_{0,0}a_{0}$ donde $c_{0,0}\neq0,$ entonces la convergencia de $b_{0}$ y $a_{0}$ son equivalentes, y luego $b_{1}=c_{1,0}a_{0}+c_{1,1}a_{1},$ donde $c_{1,1}\neq0,$ entonces dado que $a_{0}$ y $b_{1}$ convergen, $a_{1}$ converge, y así sucesivamente).