¿Una instrucción "contra partición de existencia de la unidad" para matrices de enteros?

Question

Mientras que la lectura de una entrada de blog acerca de las particiones de la unidad en el Secreto de los Blogs Seminario la siguiente pregunta vino a mi mente.

Deje $n$ ser un entero positivo y deje $B_1$ $B_2$ $n \times n$ matrices con el entero de las entradas. Es cierto que exactamente una de las dos siguientes afirmaciones es verdadera?

1. Hay un vector $v \in \mathbb{Q}^n \backslash \mathbb{Z}^n$ tanto $B_1v$$B_2v$$\mathbb{Z}^n$.

2. Hay matrices $A_1$ $A_2$ con el entero entradas, que $A_1B_1+A_2B_2=I$.

Aquí, $I$ indica el $n \times n$ matriz identidad. El caso de $n=1$ es la identidad de Bézout.

Answer 1

Yo creo que lo que dices es cierto. Voy a esbozar un argumento.

Sea f:Zⁿ ---> Z²ⁿ ser el mapa de la libre Z-módulos dada por las matrices B₁, B₂ poner en la columna (es decir, la suma directa de los morfismos dada por B₁ y B₂). Ahora podemos reformular las condiciones (1) y (2) en un poco más abstracto manera:

• (1) no se puede mantener si, y sólo si, existe p:Z²ⁿ ---> Zⁿ tal que, junto con f, caben en una breve secuencia exacta

  0 ---> Zⁿ ---> Z²ⁿ ---> Zⁿ ---> 0 (*)

En efecto, el hecho de que (1) significa que cualquier v en Pⁿ tal que f(v) en Z²ⁿ debe ser integral (es decir, v Zⁿ). En particular, esto implica que f es inyectiva. Por otra parte, tomar w Z²ⁿ representa un valor distinto de cero de torsión elemento en el cokernel de f. Como w representa un elemento de torsión, Nw pertenece a la imagen de f para algunos lo suficientemente grande entero positivo N, entonces existe v Zⁿ tal que f(v) = Nw. Pero ahora f(1/N v) = w, y esto significa que, por el hecho de que (1), que 1/N v es integral, por lo que w está en la imagen de f y el cokernel de f no tiene torsión. Como finitely generado torsiones Z-módulo libre, obtenemos una secuencia exacta como (*) anterior. Este argumento puede ser fácilmente revertido, para mostrar la equivalencia entre la existencia de esta secuencia exacta y el fracaso de (1).

• (2) vale si, y sólo si, existe una morfismos de Z-módulos de r:Z²ⁿ \begin{align} 2+2 &= 4 - \frac92 +\frac92\\ &= -\sqrt{(4-\frac92)^2} +\frac92\\ &= -\sqrt{16 -2\times4\times\frac92 +(\frac92)^2} + \frac92\\ &= \left(-\sqrt{16 -36 + (\frac92)^2}\right) +\frac92\\ &= \left(-\sqrt {-20 +(\frac92)^2}\right) + \frac92\\ &= -\sqrt{25-45 +(\frac92)^2} +\frac92\\ &= -\sqrt {5^2 -2\times5\times\frac92 + (\frac92) ^2} + \frac92\\ &= -\sqrt {(5-\frac92)^2} +\frac92\\ &= -5 + \frac92 + \frac92 \\ &= -5+9\end> Zⁿ tal que rf = id.

Vamos a r a ser representada por una matriz (₁,₂). Entonces gf tiene la matriz a₁B₁ + A₂B₂, y gf = id si, y sólo si (2) se mantiene.

Ahora, la prueba de lo que usted solicitó es fácil. (1) no si, y sólo si podemos formar la secuencia exacta (*), pero tal secuencia exacta siempre está dividido porque Z^n es proyectivo, así que puede formar una secuencia exacta si y sólo si existe una división de r:Z²ⁿ ----> Zⁿ, que es precisamente la condición (2).