Interpretando resultados de Binomial CDF

Question

Tengo una distribución binomial de CDF y estaba tratando de interpretar los resultados. Para esto, tengo $n=100$ ensayos, con $p=0.25$. Al calcular el CDF, obtengo:

$P(X \leq 25) = 0.5535$

¿Significa esto que la probabilidad de obtener $\leq$ 25 éxitos en 100 ensayos es del 55.35%? Además, si calculo:

$1 - P(X \leq 25) = 0.446$,

¿Significa esto que la probabilidad de obtener más de 25 éxitos en 100 ensayos es del 44.6%?

Gracias.

Answer 1

Si $X \sim \mathsf{Binom}(n=100, p=.25),$ entonces se dice que $$P(X > 25) = 1 - P(X \le 25) = 0.4465,$$ a cuatro decimales. Esta es la probabilidad de que alguno de los valores 26 al 100 ocurra. En particular, uno de estos valores es 90; su parte de esa probabilidad general es $P(X = 90) \approx 0$ (positivo pero muy pequeño). [Usando R, donde la PDF binomial es dbinom y la CDF es pbinom.]

1 - pbinom(25, 100, .25)
[1] 0.4465292
dbinom(90, 100, .25)
[1] 6.360895e-43

Puede ayudar a su intuición recordar que $X$ es aproximadamente normal con $\mu = E(X) = np = 25$ y $\sigma = SD(X) = \sqrt{np(1-p)} = 4.3301.$

Código R para la figura.

x = 0:100;  PDF = dbinom(x, 100, 0.25)
hdr = "PDF de BINOM(100, .25) [barras azules] con Densidad Normal Aproximada"
plot(x, PDF,  type="h", col="blue", lwd=2, main=hdr)
 curve(dnorm(x, 25, 4.3301), add=T, col="maroon", lwd=2)
 abline(h=0, col="green2");  abline(v=0, col="green2")